дптся к дисперсионному соотношению (5.3.8) для невращающейся жидкости. Этот предел был уже рассмотрен в гл. 5 и не будет больше рассматриваться.

Вращение оказывает значительное влияние только на волны, горизонтальный масштаб>с5: которых достаточно велик по сравнению с глубиной Н. Иначе говоря, влияние вращения необходимо изучать только для волн на мелкой воде, для которых имеет место гидростатическое приближение. Свободные волны при таком предельном переходе представляют собой волны Пуанкаре , рассмотренные в гл. 7. Поскольку значение ХН в этом пределе мало, (8.2.2) приближенно записывается в виде

Г %,-Ьа-2, (8.2.4)

и (8.2.1) сводится к дисперсионному соотношению (7.3.4) для воли Пуанкаре. Эти волны ул<е рассматривались по ходу изложения в гл. 7. Теперь они будут изучаться более основательно.

Прежде чем приступить к обсуладению свойств поверхностных , или баротропных (см. разд. 6.2), волн, необходимо иметь в виду, что результаты изучения с одинаковым успехом молено прилолеить и к внутренним , или бароклинным , модам. Это следует из существования решений, полученных путем разделения переменных для уравнений стратифицированной жидкости в случае, когда горизонтальный масштаб велик по сравнению с вертикальным. Это свойство было показано в гл. 6. Таким образом, когда говорится о возвышении свободной поверхности или о компонентах горизонтальной скорости {и, v) для баротропного движения леидкости с глубиной Н, то те лее рассуледения оказываются справедливыми и для внутренних течений, свойства которых могут быть Описаны в терминах эквивалентных переменных r\{x,y,i), u{x,y,t) и v{x,y,t) теории мелкой воды и эквивалентной глубины Не (см. разд. 6.11, 6.14 и 6.17).

Рассмотрим теперь свойства бегущей волны иа мелкой воде, т. е. такой, для которой г\, и и v пропорциональны величине

ехр / {kx -f ly - Cut). (8.2.5)

(В этой книге все волны с дисперсионным соотношением (7.3.4) называются волнами Пуанкаре, хотя это же название иногда используется и для подмиолеества этих воли, удовлетворяющих краевым условиям в канале. Плоская волна, определяемая формулой (8.2.5), в ряде случаев иазывается волной Свердрупа (см. [630]).) Поляризационные соотношения, т. е. соотношения между амплитудами и фазами г\, и и и, получаются в результате подстановки указанной формы зависимости от х, у и t

В уравнения (7.2.1) - (7.2.3). В результате получаем

~ ти - fv = - ikgr\, - i(i)V fit = - ilgr\, (8.2.6)

- /(ОТ) -f Ш [kti -f lv) = 0.

Эти уравнения имеют ненулевое решение только тогда, когда удовлетворяется дисперсионное соотношение (7.3.4), т. е.

со2 = Р4.2Я, (8.2.7)

где хн - длина горизонтального волнового вектора

kj = {k, I),

т. е.

nl = k + l\ (8.2.8)

Уравнения (8.2.6) позволяют получить следующие выражения для и и V в зависимости от i]:

и {к(й + /) л/Я, и = (/© - ikf) r]iKfH. (8.2.9)

Для внутренних мод н заменяется эквивалентной глубиной Hq. Если f равно нулю, то (8.2.9) дает соотношение между ускорением и градиентом давления, которое имеет место в предельном случае отсутствия вращения. Если оз равна нулю, то (8.2.9) эквивалентно геострофическому соотношению (7.2.14).

Кроме того, уравнение потенциальной завихренности (7.2.8) показывает, что жидкость приобретает циклоническую завихренность при подъеме поверхности и антициклоническую завихренность, когда поверхность опускается, т. е.

tlf==i{kv-lii)/f = r]/H. (8.2.10)

Тот факт, что возмущение потенциальной завихренности для волны Пуанкаре равно нулю, следует из (7.2.8) и предпололе-ния о виде зависимости от времени, пропорциональной ехр (-iiat).

Для удобства обсуждения свойств бегущей волны Пуанкаре выберем ось х в направлении волнового вектора, так что / = 0. Тогда, воспользовавшись соглашением, что физическое решение представляет собой действргтельную часть комплексного выра-л<;ения для волны, и используя (8.2.9), получаем решение в виде

11 = rio cos (д; - со/), (8.2.11)

u = i(iiy]JkH)cos{kx - (i)i), V = {friJkH)sln{kx ~(ui). (8.2.12)

Решение показано на рис. 8.1. Из (8.2.12) следует, что траекториями частиц лидкости являются эллипсы с главными осями в направлении волнового вектора. Отношение длин осей равно

co/f). Вектор скорости враыдается антициклонически во времени, так что частицы совершают двилеения по эллиптическим орбитам в антициклоническом направлении.

Пример внутренней волны Пуанкаре, наблюдавшийся в озере Мичиган, приведен па рис. 8.2. Двилеенне в термоклине, представленное заштрихованной областью, ие является чисто синусоидальным, поскольку там представлено несколько волн. Однако волна с периодом около 17 ч. оказывается основной. Вертикальный профиль скорости напоминает профиль скорости в

<Ь О

О О

Рис. 8.1. Волна Пуанкаре, бегущая слева направо, (а) Смещение свободной поверхности и {б) траектории частиц в плане, которые являются эллипсами с большими осями в направлении распространения волны (т. е. оси х) и малыми осями, равными ш, умножепноп на длину больших осей. Частицы движутся по этим траекториям в антициклоническом направлении. Стрелки указывают положение частицы иа свободной поверхности, а также направление двил4ения для Северного полушария,

двухслойной жидкости (см. разд. 6.2), т. е. скорость в более протялеениом по вертикали слое нилее термоклина меньше, чем в слое над термоклином, и имеет противоположное направление. Это указывает на то, что первая бароклинная мода является основной. Антнциклоиическое вращение вектора скорости можио увидеть как в слое над термоклином, так и под ним.

Рассмотрим теперь две предельные формы волн Пуанкаре. Короткие волны Пуанкаре (т, е. с -С а) имеют высокую частоту, т. е. значение со для них велико и, следовательно, эллиптические траектории являются вытянутыми и сплющенными. В пределе они переходят в прямолинейные траектории, характерные для обычных гравитационных волн при отсутствии вращения. В случае длинных волн Пуанкаре (х; > а) со лишь

) Для удобства преобразования отношений и неравенств значения со и / будем часто преобразовывать как положительные.