И единицу при предельном переходе к коротким волнам. Например, рис. 5.7 и 6.8, а, в могли бы отобразить группу волн Пуанкаре с = 1, для которых групповая скорость равна половине фазовой скорости, точно так же как это имеет место для поверхностных воли иа глубокой воде.

Диснерсиоииые свойства волн Пуанкаре прекрасно иллюстрируются точным решением (7.3.14). Всамом деле, поскольку оно является точным, волны Пуанкаре оказываются удачным примером дисперсии волн, при котором групповая скорость имеет максимальное значение для коротких воли и минимальное (нулевое) для длинных. Это решение показано иа рис. 7.3, б и 7.4. Валеными особенностями решения являются: (i) фронт, распространяющийся с максимальной групповой скоростью igH)/ и уменьшающий со временем свою толщину из-за дисперсии, и (ii) волны с периодом, близким к инерционному, которые остаются позади и имеют очень малую групповукз скорость. (Необходимо иметь в виду, что свойства воли вытекают из приблилееиий теории мелкой воды и что волны с горизонтальным масштабом, сравнимым с глубиной, долл<ны были бы в действительности удовлетворять дисперсионному уравнению (5.3.8). При этом короткие волны имели бы скорость меньше, чем {gH)f. Так что если рассматривать фронт очень детально, то молено обнарулеить колебания с четко выралееиным коротким периодом. Они аналогичны тем, которые обсуледались в разд. 6.16. Эти колебания успешно сглалеиваются или отфильтровываются спо-м о и U. 10 ги д р остатич ее ко го и р и б л и лее и и я.)

Уравнения для энергии двилеений иа мелкой воде с учетом вращения имеют точно такой же вид, как и в разд. 5.7. Это связано с тем, что сила Кориолиса совершает нулевую работу, т. е. при уммолеении уравнений двилеения (7.2.1) и (7.2.2) соответственно на рНа и pHv и последующем слолеении кориолисовы члены взаимно уничтожаются. Полное уравнение энергии записывается в виде (5.7.4),

{IрЯ ( + V-) + \ Р4т)2} -f [pgHti) -f {9gHщ) = 0.

(8.3.2)

Для бегущей волны Пуанкаре удобно использовать средние значения по длине волны. Если обозначить осредненные таким образом величины чертой сверху, то средняя кинетическая энергия на единицу площади будет выражаться формулой

\ рЯ (Ч) = \ 9 (О)- + Р) Ц1М1,Н =

= ((а)2-Ь f)/(co2 p))p2 (8.3.3)

а средняя потенциальная энергия на единицу площади будет иметь вид

Эти результаты следуют из (8.2.11), (8.2.12) и дисперсионного соотношения (8.2.7). Для исключения зависимости конечного выражения (8.3.3) от выбора осей используется ие просто k, а полное волновое число хн- Отметим, что энергия распределяется не поровну между ее кинетической и потенциальной формами, причем кинетическая энергия всегда больше на множитель

Второе и третье выражения в этом отношении получаются из первого с использованием дисперсионного соотношения (8.2.7) и определения (8.2.3) радиуса Россби.

Полная энергия на единицу площади может быть получена в результате сложения (8.3.3) и (8.3.4), что дает

энергия на единицу площади = ---2-W Pgo п 2 (о-З.Ь)

Последнее выражение следует из дисперсионного соотношения. Для коротких волн (к < а) отношение (8.3.5) близко к единице, и энергия разделяется почти поровну между кинетической и потенциальной формами. Для длинных волн (к > а) почти вся энергия приходится на кинетическую форму. Это означает, что волны с близкой к инерционной частотой, которые связаны с движением по близким к круговым орбитам, легче обнаружить и выделить из других волн по записи скорости, а не по наблюдениям возвышения свободной поверхности.

Средний поток энергии в бегущей волне Пуанкаре можно вычислить по формулам (8.2.11) и (8.2.12):

pgH = Р№ 3кн. (8.3.7)

Он равен плотности энергии, выражение для которой дается равенством (8.3.6), умноженной на групповую скорость, определяемую выражением (8.3.1). Важной особенностью задачи Россби о приспособлении из разд. 7.2 и 7.3 было излучение энергии в форме волн Пуанкаре. И действительно две трети высвобожденной потенциальной энергии было потеряно в результате этого излучения. Потери энергии через излучение вычисляются по формуле (8.3.7) с помощью суммирования вкладов от различных волновых чисел, причем потеря на единицу длины составляла pgr\la.

Дальнейшее обсуждение свойств волн Пуанкаре можио найти в работах [647], [630], [438]. Необходимо отметить, что в первых двух работах термин волна Пуанкаре применяется в более ограниченном смысле, чем в нашем изложении. Волны, которые в этой книге называются бегуниши волнами Пуанкаре, называются в [647, разд. 132] волнами с горизонтальными гребнями, а в [630] их называют волнами Свердрупа. Вопросы терминологии более полно обсуждаются в гл. 10.

8.4. ВЕРТИКАЛЬНО РАСПРОСТРАНЯЮЩИЕСЯ ВНУТРЕННИЕ ВОЛНЫ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ

Рассмотрим приспособление к действию силы тяжести малых возмушений в непрерывно стратифицированной иеслеимае-мой жидкости. Изучение этого вопроса было начато в разд. 6.4, но теперь мы рассмотрим дополнительно эффекты вращения. В силу того, что в случае гидростатического приблилеения переменные разделяются, предыдущие результаты, полученные при изучении волн Пуанкаре, молено также распространить и на стратифицированные жидкости. Однако в предшествующих рассуждениях основное випмаиие уделялось характеристикам горизонтального распространения. Оказывается, что рассуледения и выкладки услоленяются совсем незначительно, если не прибегать к гидростатическому приблилеению, так что это ограничение будет временно опущено.

Основные уравнения, следовательно, берутся в том лее виде, что и в разд. 6.4, за исключением добавления членов ускорения Кориолиса. В частности, условие иеслеимаемости (6.4.3), уравнение (6.4.6), которое выралеает закон сохранения плотности материальной частицы, и вертикальная составляющая (6.4.5) уравнений движения остаются неизменными. Изменяются только горизонтальные составляющие уравнений двилеения (6.4.4), которые записываются в виде (7.12.1) и (7.12.2), т. е.

du/di - fv = - p-df dx, (8.4.1)

dv/dt -j- fa = - p~d} dy. (8.4.2)

Иногда полезными оказываются уравнения, полученные исключением из уравнений (8.4.1), (8.4.2) скоростей и и и. Переменная V исключается при слолеении продифференцированного по времени уравнения (8.4.1) с уравнением (8.4.2), умнолеенным на f. Аналогично исключается и переменная и. В результате получаются уравнения вида

du/dP -f Pu = - p-dY/дхdi - fp-i др/ду, (8.4.3)

dv/di + Pv = - p-dY/dy di + fp- dp/dx. (8.4.4)