Главная Движущие cилы в атмосферe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 [ 104 ] 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 Покажем теперь, как можно свести число уравнений к двум, исключая все переменные, кроме w и р. Процедура, выполненная в разд. 6.4, сводилась к взятию оператора дивергенции от горизонтальных уравнений движения (что соответствует сложению уравнений (8.4.1) и (8.4.2), продифференцированных соответственно по X и у, и использованию условия несжимаемости (6.4.3) для исключения дивергенции горизонтальной скорости). Однако в результате этой процедуры в случае с вращением (см. (7.2.4)) получается уравнение d-wldzdt--ft p-i ((52p7ax- -h д¥М, (8.4.5) в котором появился член, содерл<ащий вертикальную компоненту завихренности . Другое уравнение для получается при взятии операции вихря от (8.4.1) и (8.4.2), что приводит к (7.12.4), т. е. к dydt-fdwldz=(). (8.4.6) Теперь из (8.4.5) и (8.4.6) можно исключить dw/dz или . Если продифференцировать по времени (8.4.6) и слолить с (8.4.5), умнол<енным на f, то в результате получим соотношение между завихренностью и возмущением давления, а именно dXldf + fX = fp,7 [д-рПдх 4- Widy)- (8.4.7) То же самое мол<но получить применением операции вихря (8.4.3) и (8.4.4). Аналогично можно получить уравнение, связывающее горизонтальную дивергенцию ди/дх-\- dv/dy = -dw/dz с возмущением давления. Оно имеет вид { дг2\ dw I д (др др \ и сводится к уравнению (6.4.7) в случае отсутствия вращения. Отметим, что (8.4.8), которое можно рассматривать как уравнение, связывающее горизонтальное движение (выраженное через горизонтальную дивергенцию) с возмущением давления, со-дерл<ит инерционную частоту f, а не частоту плавучести. Другое уравнение, связывающее меледу собой w и р\ получается из (6.4.8), которое не изменяется при учете вращения. Это уравнение имеет вид dwldf- + Л2да = - p-dipldzdt. (8.4.9) Его можно рассматривать как уравнение, связывающее вертикальное движение (вырал<енное через w) с возмущением давления р. Заметим, что оно содержит частоту плавучести, а ие инерционную частоту /. Исключая р из (8.4.8) и (8.4.7), получаем уравнение только для ш, а именно В случае f = 0 оно сводится к соответствующему ему при отсутствии вращения уравнению (6.4.10). Если вертикальный масштаб воли мал по сравнению с масштабом высоты, что является необходимым условием иеслеимаемости среды, тогда можно воспользоваться приблилеением Буссинеска (6.4.11), и уравнение (8.4.10) сводится к виду (8.4.11) В этом приближении уравнение для р имеет точно такой же вид. Дисперсионное соотношение для внутренних гравитащ-юнных волн во вращающейся жидкости с постоянной частотой плавучести N получается подстановкой решения в волновой форме ау = шоехр {/ {kx ~\- ly-\-mz - Ш)} (8.4.12) в уравнение (8.4.11). Получаем G)2 (fW + ik -Ь P))/{k -f /2 -f m2). (8.4,13) Используя определение (6.5.2) волнового вектора и тот факт, что вращение происходит относительно вертикальной оси с угловой скоростью Q = f/2, это соотношение можно записать также в виде = (2Q . kf + т%1. (8.4.14) Такая форма уравнения имеет место при любой ориентации вектора вращения Q относительно вектора силы тялеести g. Другой вид соотношения (8.4.13) получается в случае, когда волновое число записано в полярных координатах в форме (6.5.4). Этот вид указанного соотношения очень компактен: 0)2 = f sin2 ф -f- cos2 ф. (8.4.15) Другими очень полезными формами записи этого уравнения являются Л/2 0)2 = (Л(2 - f2) Sin2 ф, ©2 - /2 == (Л2 OS ф. (8.4.16) Поскольку частота со есть функция только угла ф, который составляете горизонталью волновой вектор, и она не зависит от его длины, то дисперсионные поверхности со = const в пространстве ВОЛНОВЫХ чисел, как и случае отсутствия вращения, являются коническими (см. рис. 6.7). Однако зависимость оо от сильно меняется в соответствии с относительными значениями двух частот f и. N, между которыми, в силу (8.4.15), должна находиться частота со. Один экстремальный случай соответствует однородной жидкости (что встречается, например, в некоторых лабораторных экспериментах); тогда N = 0. При этом частота (О равна fsincp и лелит, таким образом, между О и f. Соответствующие этому случаю волны называются инерционными; более подробно они рассмотрены в [279]. Однако в атмосфере и океане N обычно во много раз превышает /, так что правильней рассматривать волны в этих средах как внутренние гравитащ-юиные, поведение которых зависит от вращения. В типичном случае величина iV/f имеет порядок 100, так что со составляет около 1 % от величины, определяемой формулой (6.5.5), полученной без учета вращения, пока горизонтальный масштаб не превысит вертикальный масштаб в 14 раз. При таком большом отношении гидростатическое приближение является достаточно хорошим, и поэтому нет большой необходимости обсуждать влияние вращения кроме как в контексте гидростатического приближения. Это объясняет то внимание, которое уделяется уравнениям мелкой воды, которые следуют из гидростатического приближения. При N/f= 100 дисперсионные кривые иа рис. 6.7 ие будут изменяться сколько-нибудь заметно под влиянием вращения, за исключением того, что вертикальная ось должна проходить через отметку со /= 0,01 вместо нуля. Групповая скорость Cg равна, по определению (5.4.11), градиенту со в пространстве волновых чисел и, следовательно, перпендикулярна кинетическим поверхностям с постоянным значением со. Из (8.4.13) и (5.4.11) получаем (см. (6.6.1)) Cg = {{N - Р)/сй>с) cos ф sin (sin ф cos я, sin ф sin Х\ - cos фО, (8.4.17) т. е. групповая скорость имеет величину (Л - р) cos ср sin ф7 (ож) и направлена под углом ср к вертикали. В ряде случаев вместо угла ф полезно использовать отношение а, определяемое формулой вертикальный масштаб горизонтальный масштаб т ёФ (8.4.18) Из отнош!Ния двух выражений (8.4.16) видно, что а однозначно связано с частотой о формулой a2 = ((o-/2)/(W2-02). (8.4.19) Когда N/f велико, как это обычно имеет место в атмосфере и океане, интервал волнового режима / со Л/ можно разде- |
© 2011 - 2024 www.taginvest.ru
Копирование материалов запрещено |