(ii) Волновой негидростатический режим (L U/N). Общее решение для колоколообразной горы имеет вид

h = hn,L\ ехр(- kL + ikx + imz)dk, (8.8.3)

Соответствующее физическое решение получается, как обычно, взятием действительной части. Вертикальная компонента т волнового вектора получается из дисперсионного соотношения. Когда L сравнима с U/N, влияние вращения обычно мало, и значение т определяется из соотношения (6.8.6), т. е.

m = {{NIUf-kf\ (8.8.4)

На рис. 8.9, а показано типичное решение [648], построенное для случая

lU/N=l км. (8.8.5)

Масштаб Ls, который показан на рисунке, представляет собой длину волны, связанной с масштабом U/N, а именно

U = 2nU/N. (8.8.6)

Свойства этого решения рассмотрены в [649]. Как было показано в разд. 6.8, групповая скорость относительно земли для одиночного волнового компонента направлена вверх и по ветру в направлении волнового вектора и меняется между вертикальным направлением (/г = 0) и горизонтальным направлением по ветру {k = U/N). Из рисунка видно, что волновая энергия распределяется главным образом в этом квадранте, как и ожидалось. Вертикальный масштаб волн имеет тот ле порядок, что и горизонтальный масштаб L. На рисунке также показан приземный ветер и изменения давления, связанные между собой теоремой Бернулли [см. (4.8.3) и (7.10.22)]. Ее линеаризованная форма для линии тока записывается в виде

plQ, = ~Uu. (8.8.7)

Скорость ветра максимальна над гребнем холма, где давление минимально.

Давление иа наветренной стороне увала выше, чем давление с подветренной стороны, в результате чего создается результирующая сила, действующая на увал. Горизонтальная сила на единицу длины в направлении у дается выражением (см. разд. 8.7 и уравнение (8.7.9))

9 = \рdh \ р{dhdx)dx, (8.8.8)

Другую формулу для силы сопротивления молшо получить, подставляя выражение (8.8.7) для р в (8.8.8) и используя соотношение между tcj и Л, т. е. ш = Dh/Dt. В системе отсчета, связанной с землей, линеаризованное выражение для w записывается в виде

w=-и dhfdx, (8.8.9)

и, таким образом, из (8.8,8) получаем

gr=\puwdx. (8.8.10)

Таким образом, сила сопротивления равна скорости волнового переноса импульса в вертикальном направлении. Если рельеф задан в виде фурье-суммы синусоидальных волн, т. е.

/г =5 {к)е Ык (8.8.11)

(имеется в виду действительная часть), то силу сопротивления можно выразить как интеграл от вкладов (6.8.11) от кал<дого фурье-компонента. Такие вклады дают только волновые числа k < N/U, для которых происходит генерация воли, и в результате, используя (8.8.10) и (6.8.11) (подробный вывод выралееиия смотри в [72]), находим

gr=npQU j \m{kfk{{NlUf - kyik. (8.8.12)

Частный случай колоколообразной горы (8.8.1) был изучен в [704]. Полученное там решение можно выразить через специальные функции [71]; оно изображено в левой части рис. 8.10 и показывает силу сопротивления на единицу длины в виде функции ширины L. Сила сопротивления возрастает с ростом L ао-предельного значения я/4, соответствующего гидростатическому режиму, рассмотренному выше.

(iii) Невращательный гидростатический волновой реоюим. Этот релшм имеет место, когда N/f велико. Для атмосферы типичное значение Л/f равно 100, а для океана более подходящим является значение, близкое к 10. Топографические волны в атмосфере генерируются наклонными участками земной поверхности, и для больших горных цепей, которые оказывают самое сильное влияние на поток, ширина участка земной поверхности с большим и постоянным по знаку значением наклона составляет обычно около 10 км. Для такого масштаба гидростатическое приближение вполне приемлемо, и в то же время такой масштаб еще недостаточно велик для того, чтобы заметно проявлялось влияние вращения. Поэтому множество расчетов

ВОЛНОВЫХ эффектов в горных районах было произведено именно для этого режима.

Общее уравнение для подветренных волн в однородном потоке с учетом эффектов негидр ост атичности и вращения, в системе отсчета, движущейся с потоком, записывается в виде (8.4.11). Тому же уравнению удовлетворяет вертикальное перемещение h, поскольку W == dh/dt и (8.4.11) можно проинтегрировать по t. В системе отсчета, связанной с землей, оператор

ct=1 км

Вертиншная проещия

iiiHIIIlUki

ГТТТП

-I--I-- 10 км X

-и-Н

Рис. 8.9. Волны, генерируемые потоком с постоянной скоростью ([/ = 10 м/с) и равномерно стратифицированной жидкостью [N = 0,01 с~) над грядами гор колоколообразной формы с различными значениями ширины L (из f648]). Профиль горы задается выражением (8.8.1), и решения получаются из линейной теории. Случай (а) для L = UjM = 1 км является типичным для режима негидростатических волн. Случай (б) для L = 10 км является типичным для волнового режима, при котором влияние вращения становится существенным. Верхняя часть каждой диаграммы представляет вертикальное перемещение воздушных частиц, т. е. их траектории находятся в вертикальной плоскости, перпендикулярной горной гряде. Штриховые линии представляют траектории, на которых вертикальное перемещение равно нулю. Масштаб Ls определяется как Ls = 2nUjN и является хорошей мерой вертикального волнового числа во всех трех случаях, Мастшаб Lf определяется как = 2nf f , где f - параметр Кориолиса, имеющий заданное значение, равное 10~ с~. Нижние части рисунка (а) и (б) представляют изменения давления и ветра на уровне земли, вызванные волнами. На нижней части (б) показан в плане вид траектории частицы и изобары на уровне земли. Амплитуды изображены на максимальной высоте hm для гряды шириной в 1 км.