В [26] дан простой вывод этого результата для более общей ситуации, когда не требуется медленности изменения свойств йреды. Необходимо иметь в виду, что в силу наличия простран-гвенных производных от Cg, уравнение (8.12.34) требует рассмотрения пучка соседних лучей [308, 456]. Ряд примеров пучков лучей для распространения звука в сдвиговых течениях приводится в [114].

8.13. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЛН

До сих пор при анализе волн предполагалось, что их амплитуды (за исключением разд. 8.10) достаточно малы, чтобы пренебречь в уравнениях нелинейными членами (т. е. членами, со-дерлеащими произведения возмущений). В качестве критерия, который часто служит достаточным условием того, что полученное приближение справедливо, используется малость возмущенной скорости волны по сравнению с фазовой скоростью возмущения. Такой критерий означает, что нелинейные члены ие оказывают существенного влияния на линейное рещение в течение интервала времени, соизмеримого с периодом волны. Однако этот критерий ие исключает возможность того, что нелинейные члены могут вызвать малые систематические изменения в течение одного периода и кумулятивный эффект этих изменений за большое число периодов может быть большим. В действительности систематические изменения представляют собой скорее правило, чем исключение, и играют важную роль в определении того, как распределяется энергия между различными воз-молшыми волновыми векторами и частотами.

В качестве элементарнейшего примера нелинейных эффектов молено рассмотреть случай двух плоских волн с волновыми векторами ki и кг и соответствующими частотами co(ki) и (кг), задаваемыми дисперсионным соотношением. Когда в уравнения входят произведения членов, они имеют вид

ехр {i (ki x - со (ki) /)} ехр {i (kg х - оз (кг) /)} =

= ехр {с (ki -Ь кг) x - / {(О (кО -f ю (kg)) t}, (8.13.1)

причем величина соответствующего множителя по предположению мала. Можно считать, что эти члены задают слабое вы-иуледающее воздействие с волновым вектором ki -\- кг и частотой (o(ki)--со(к2), и развитие соответствующей новой волны во времени молено получить из уравнений. В большинстве случаев амплитуда новой волны мала, но если случится так, что частота OL)(ki)-- о)(к2) повой волны совпадает с естественной частотой 0) (ki -j- кг) для волны с волновым числом ki -f кг, тогда возникнет резонанс и новая волна будет расти линейно во времени, по крайней мере до тех пор, пока амплитуда новой волны

остается малой по сравнению с амплитудами первоначальных волн. Время, необходимое для достижения амплитудой новой волны значения, сравнимого с амплитудами первоначальных волн, называется временем взаимодействия, и его продолжительность обратно пропорциональна их амплитудам.

Условие, при котором происходит резонанс, зависит только от геометрии дисперсионных поверхностей в пространстве волновых чисел, и его можно записать в виде

(О (ki + ка) = G) (ki) -f (О (кг), (8.13.2)

где (О(к) - частота для волнового вектора к, определяемая дисперсионным соотношением. Это условие удовлетворяется для многих пар внутренних волн, и такие решения получены в [497, 627, 674]. Если условие (8,13.2) выполнено, то первоначальная пара волн и генерируемая ими новая волна образуют так называемую резонансную триаду. Для некоторых классов воли (как, например, поверхностные гравитационные волны в глубокой воде) резонансных триад не существует, но возможно существование множеств из четырех резонансных волн. Первым, кто обратил внимание на резонансные волновые взаимодействия такого рода, был О. Филлипс (1960) [626]; он же изучил волновые взаимодействия между поверхностными и внутренними волнами [672].Можно написать уравнения для эволюции амплитуды волны в случае резонансных триад и получить их решение [38, 780, 725]. Полная энергия триады остается постоянной, но способ распределения энергии между тремя волнами постоянно изменяется. О лабораторных экспериментах, демонстрирующих резонансные взаимодействия, сообщается в работах [526, 503 и др.

В природе обычно встречается целый спектр волн, т. е. суперпозиция волн с волновыми числами, изменяющимися непрерывно в некотором интервале значений. В этих случаях волновые взаимодействия происходят точно таким же образом, как это имеет место в случае небольшого числа волн, и если амплитуда волн не слишком велика, то перенос энергии осуществляется преимущественно теми волнами, которые образуют резонансные триады (если таковые существуют; в противном случае доминируют наборы из четырех резонансных волн). Фазы составляющих, отвечающих разным волновым векторам спектра, распределяются, согласно часто принимаемому предположению, случайно, и это предположение позволяет рассчитать эволюцию спектра во времени. Эта теория была разработана в [300] и [301] по аналогии с известными результатами квантовой механики и была впервые применена для изучения спектра наблюдаемых внутренних волн в [598]. Ф. Л. Брезертон (неопубликованные результаты) показал, что предположение о равномерности распределения фаз оправдано для распространения в двух- или трехмерной

неограниченной области, но не имеет силы для распространения в одномерном случае.

Вклады в скорость изменения амплитуды для данного волнового числа происходят от многих триад. Однако, как показано в [497], характер явления во многом молено выяснить, рассматривая три предельные формы взаимодействия триад. В [497] даны следующие названия механизмам, связанным с этими предельными формами взаимодействия.

(а) Индуцированная диффузия. Она происходит тогда, когда две почти одинаковые волны взаимодействуют с другой волной, обладающей значительно более низкой частотой и значительно меньшим волновым вектором. Сдвиг последней волны (который подобен медленно изменяющемуся крупномасштабному двилее-juno к малым волнам) способствует процессу диффузии волно-иого действия (энергия, деленная на частоту) вдоль вертикаль-пых волновых чисел.

(б) Упругое рассеивание. Оно происходит тогда, когда две ьолиы, волновые векторы которых являются почти зеркальными отралеениями друг друга относительно горизонтальной плоскости, взаимодействуют с волной, частота которой намного нилее, а вертикальное волновое число в два раза больше. Последняя волиа ведет себя аналогично тому, как ведет себя кристаллическая решетка в рассеивании Брегга и способствует уравнива-И1П0 распределения энергии меледу волнами, распространяющимися вверх и вниз. Условие упругого рассеивания выполняется только для таких волн, частота которых существенно больше, чем /, так что волны с частотой, близкой к инерционной, испытывают слабое воздействие. (Волны, распространяющиеся преимущественно вверх или вниз, рассматривавшиеся ранее (см. разд. 8.5), имели частоту, близкую к /.)

(в) Параметрическая субгармоническая неустойчивость. Она имеет место тогда, когда две волны с почти противопололеиыми волновыми векторами взаимодействуют с волной, волновой вектор которой намного меньше, а частота в два раза больше. При этом процессе происходит перенос энергии от выеокоэнергичиых волн с малыми волновыми векторами к волнам с большими волновыми векторами и с частотой, равной половине частоты исходных волн; в результате чего возникают волны с инерционной частотой (самой низкой возможной частотой) с высоким вертикальным волновым числом.

Перечисленные процессы оказывают сильное влияние на спектр внутренних волн в океане, и одним из результатов такого влияния является то, что получающийся спектр волн меняется незначительно от одной части океана к другой. Форма этого спектра рассматривается в следующем разделе.

В связи с волновыми взаимодействиями встает вопрос об устойчивости волн, т. е. будет ли сохраняться заданная форма