f + =0- (8.15.4)

Это уравнение можно интерпретировать как утверждение, что скорость изменения импульса усредненного потока равна дивергенции усредненного напряжения, создаваемого волнами, взятой со знаком минус. Этот вывод связан с тем, что градиент по х усредненного давления равен нулю (см. [84]). Используя (6.8.11), (6.8.6) и тот факт, что волны распространяются вверх со скоростью Cgz, получаем выражение для усредненного напряжения

Powo) = - (1/2) kmUpfiF {i - z/c). (8.1б.б)

Т. е. ЭТО будут волны вида (6.8.5), которые забирают импульс от земной поверхности со скоростью т, определяемой выражением (6.8.11), и переносят его вертикально с той же скоростью. Однако область, в которой существуют волны, имеет конечную глубину порядка Cgzt в силу того, что волны могут распространяться вверх только с конечной скоростью Cgz, где Cgz - вертикальная составляющая групповой скорости, определяемая из (6.6.1). На больших высотах при z > Cgzt волн нет и, следовательно, отсутствует поток импульса, т. е. отсутствует и усредненное напряжение. Как вытекает из решения, существует область, в которой поток импульса и напряжения падает от его значения t на поверхности до нуля. В этой области, порядок толщины которой равен L = CgzT, на усредненный поток будет действовать (в расчете на единицу площади) сила т, которая будет его ускорять.

После того как получены уравнения движения усредненного потока, можно получить явное решение для изменений, происходящих в усредненном потоке. Поскольку волновые переносы пропорциональны квадрату амплитуды волны, которая по предположению мала, то усредненные уравнения движения должны быть справедливы с точностью до этого порядка малости. Будем обозначать усредненную скорость потока через й, где черта сверху означает усреднение по х. В данном случае она может рассматриваться как средняя по длине волны 2т1/к, так что в этом случае черта сверху имеет тот же самый смысл, что и в разд. 6.8. Если для обозначения отклонений от среднего значения будем использовать штрих, то д:-компонента скорости в произвольной точке запишется в виде

и = й + и. (8.15.3)

Поскольку в рассматриваемом случае переменные зависят только от 2 и 2, то усреднсние уравнения движения (4.10.11) приводит к уравнению

Отсюда получаем решение уравнения (8.15.4) в виде

й = и - (1/2) c-ikfnUF (t - z/c) = U~ (1/2) U-mP (t - z/c).

(8.15.6)

Второе из этих выражений получено подстановкой значения бsin фcos ф, выведенного в конце разд. 6.8 для Cgz, и использованием соотношений (6.5.4) и (6.8.6). Для больших времен имеем

й-и -\{Nh,flU. (8.15.7)

Таким образом, эффект включения складок на поверхности заключается в том, что граничная поверхность посредством напряжения uw, создаваемого волнами, отнимает от усредненного потока небольшую долю {\/2) {Nho/U) импульса. Эта доля равна половине величины, обратной квадрату числа Фруда (см. (6.9.18)

выраженного через амплитуду рельефа.

Приведенный пример иллюстрирует, как волны могут пере-

иосить импульс посредством усредненного иапрялеения uw в отдаленные области течения в ситуации, развивающейся во времени. Очевидно, что аналогичные эффекты имеют место и в случае, когда uw меняется с высотой в силу явлении диссипации воли. О лабораторных экспериментах, демоистрируюидих такие эффекты, имеются сообщения в [623]. Обш,ие методы изучения таких явлений были разработаны в [25].

Необходимо подчеркнуть, что энергетика таких явлений зависит от используемой системы отсчета, что ясно иллюстрирует приведенный выше пример. Во-первых, рассмотрим систему отсчета, неподвижно связанную с землей. В этой системе отсчета в силу стационариостн границы не совершается никакой работы, и поэтому ие будет никакой подкачки энергии с земли. Потеря энергии иа единицу массы усредненного потока с точностью до квадратичных членов равна

Здесь использовано выражение (8.15.7) для й. Эта потеря в точности равна приращению энергии иа единицу массы, обусловленному наличием волн, как это следует из (6.8.14). В терминах потоков энергии, поток энергии вверх F - pw, вызываемый волнами, балансируется адвекцией кинетической энергии вниз PqUuw.

8.16. КВАЗИГЕОСТРОФИЧЕСКИЙ ПОТОК (/-ПЛОСКОСТЬ): ИЗАЛЛОБАРИЧЕСКИЙ ВЕТЕР

Механизм приспособления вращающейся жидкости к изменениям, которые происходят (временной масштаб ;>/-), носит весьма специальный характер, и чрезвычайно важно понять природу таких медленных процессов приспособления по той причине, что изменения, видные на карте погоды, а также изменения океанических течений от одной недели к другой, носят такой же характер. Ключом к пониманию медленных процессов приспособления служит осознание переопределеиности уравнений геострофического потока, что уже обсуждалось в гл. 7, т. е. того факта, что геострофическое течение в точности удовлетворяет уравнению неразрывности для мелкой воды. Из этого следует, что эти три уравнения не определяют три независимые искомые функции, и для того, чтобы определить поток, необходим анализ отклонений от геострофичности, даже если они и малы. Тот факт, что отклонения малы, объясняет классификацию течений такого рода как квазигеострофических .

Переопределеииость уравнений имеет место ие только для мелкого однородного слоя, но и для каждой бароклинной моды, и, следовательно, для стратифицированной жидкости. К этому же выводу можно придти и из того, что при геострофическом потоке горизонтальная дивергенция равна нулю и, следовательно, вертикальное движение не зависит от глубины. По этой причине при наличии горизонтальной границы для чисто геострофического движения вертикальное движение отсутствует. Тем не менее важно выполнить расчет вертикального движения с тем, чтобы можно было определить гравитационные уравновешивающие силы, и по этой причине необходимо рассматривать отклонения от геострофичности.

Необходимость рассмотрения отклонений от геострофичиости с целью вычисления вертикального движения в медленно изменяющейся ситуации была отмечена Брантом и Дугласом (1928)] в статье Модификация баланса при меняющемся распределении

Рассмотрим теперь энергетический баланс в системе отсчета движущейся вместе с первоначально невозмущеииым усредненным потоком. В этой системе отсчета граница движется со скоростью и, и таким образом она совершает работу со скоростью, равной направленному вверх потоку F - pw энергии заключенной в волне. Адвекция кинетической энергии (с точностью до второго порядка) в этой системе отсчета отсутствует, и в этом случае поток энергии потребляется в области фронта волны и сообщает частице энергию, которая с точностью до второго порядка совпадает с энергией волн.