Для смеси газов давление р равно сумме давлений составляющих газов, т. е.

Р = Р,+е. (3.1.9)

Далее, по определению

P, = Q9 (3.1.10)

P = Pd+Pv Т.е. р = р-р = (1-)р. (3.1.11)

Используя (3.1.9) -(3.1.11) для pd, pv и pd, можно вывести два уравнения. Первое,

elp = ql{e + {l-e)q), (3,1.12)

получающееся делением (3.1.2) на (3.1.6), выражает давление пара е через удельную влажность q в предположении, что воздух ведет себя как смесь идеальных газов (поскольку удельную влажность легче измерить, чем давление пара, то эта формула действительно используется для определения величины е для воздуха, хотя его поведение немного отличается от поведения идеального газа (см. Смитсоновские метеорологические таблицы [471], табл. 93]). Здесь е определяется равенством

е = mw/ma = RIRv = 0,62197. (3.1.13)

Второе уравнение, получающееся путем сложения (3.1.2) и (3,1.6), это уравнение состояния. Его можно записать в виде

р = p/iRT {\-q+ qjB)) p/RT (3.1.14)

7v = r(l- + (7/8) = r(l-f0,6078) (3.1 15)

называется виртуальной температурой, т. е. это та температура, которую должен иметь сухой воздух при заданном давлении, чтобы его плотность равнялась плотности влажного воздуха в предположении, что он ведет себя как идеальный газ (Смитсоновские метеорологические таблицы, табл. 72), Отклонения от поведения идеального газа (которые даны в табл. 84 Смитсо-новских метеорологических таблиц) составляют одну тысячную, так что ими обычно пренебрегают. Фактически уравнение для сухого воздуха ( = 0) является достаточно точным для большинства целей, поэтому влиянием влажности на плотность также обычно пренебрегают. Однако в экстремальных тропических условиях это может быть неоправданным из-за того, что количество водяного пара в воздухе может очень быстро увеличиваться с температурой, и, например. Ту равна 45°С для воздуха, насы-щеииого при температуре 37 С и давлении 1000 мб.

3.2. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Законы термодинамики позволяют ввести дополнительные переменные состояния, зависимость которых от р, Т и переменной для концентрации {q или s) нужно определить. Детальное обсуждение этих законов и ссылки иа литературу можно найти в учебниках термодинамики, скажем, в [565]. (Замечание. Разные учебники 3Ha4HTejniH0 отличаются по подходу к предмету, а строго логическое построение теории сопряжено с трудностями.) В этом разделе будет предполагаться, что жидкость имеет фиксированный состав, т. е. что q или 5 постоянны. Поэтому состояние жидкости будет зависеть от двух независимых переме1П1ых, в качестве которых обычно выбирают р и Т. Для удобства в качестве переменной будет использоваться удельный объем Vs вместо плотностир = о-Ч Индекс s используется, чтобы избежать в дальнейшем смешения этой величины с компонентой скорости V.

Первый закон термодинамики приводит к введению величины Е, называемой внутренней энергией единицы массы; она зависит только от состояния жидкости.

Второй закон термодинамики приводит к введению еше одной переменной состояния ц - удельной энтропии (или энтропии единицы массы) и к соотношению

dE = T dTi - pdvs (3.2.1)

между пятью переменными состояния Е, Т, ц, р и Vs. Это фундаментальное уравнение, из которого выводятся гермодинамиче-ские соотношения, и нужно подчеркнуть, что переменные, входящие в это соотношение, зависят только от состояния жидкости. (Строго говоря, это соотношение верно только тогда, когда л<ндкость находится в равновесии, так что (3.2.1) выполняется только для изменений, достаточно медленных, чтобы жидкость находилась почти в равновесии - см. [47, разд. 3.4]. На практике условия, при которых изменения ие являются достаточно медленными , довольно редки и не важны для тем, обсуждаемых в этой книге.)

В уравнении (3.2.1) член Tdr\ представляет увеличение теплосодержания единицы массы жидкости (только этот физический смысл нужно связывать с ц в данный момент). Скорость изменения теплосодержания при изменении температуры называется удельной теплоемкостью) жидкости. Так как г) является функцией двух переменных (р, Т), то изменения р при

) Удельной теплоемкостью иазывается теплоемкость единицы массы вещества. Теплоемкостью с вещества называется величина, равная отношению количества теплоты 6Q, сообщаемого телу, к изменению dT его температуры в рассматриваемом термодинамическом процессе: с = fiQ/df. - Прим. перев.

фиксированной температуре будет показывать, как (или некоторая другая переменная состояния) при этом изменяется. Если, Например, обьем остается фиксированным, то величина

сТ{дфТ\={дЕ1дТ\ (3.2.2)

называется удельной теплоемкостью при постоянном объеме. Здесь правая часть выводится из (3.2.1), а индекс v указывает №3 то, что производная вычисляется при постоянном Vs- Аналогично, удельная теплоемкость Ср при постоянном давлении дается формулой

с, = Г {дц1дТ\ = [дЕ1дТ)р + р {dvJdT)p. (3.2.3)

Для океана и атмосферы двумя независимыми переменными, используемыми для описания состояния, являются (при фиксированном составе) давление и температура. Поэтому желательно иметь выражения для иитеисивности изменения энтропии как от давления, так и от температуры. Из (3.2.1) следует, что

Т (дфр)т = {дЕ/др)г + р {dv,ldp)T. (3.2.4)

Дифференцируя (3.2.3) по р, (3.2.4) по Г и вычитая их друг из друга, находим

{дфр)г = ~{дю1дТ),. (3.2.5)

Поэтому

ТйцТ (дфТ)р йТ + Т {дфр)т dp,

т. е.

Tdц = Ср dT-T {dvJdT)p dp, (3.2.6)

что и является искомым вырал<еиием зависимости энтропии (и, следовательно, тепла, содержащегося в единице массы) от температуры и давления. Это та форма термодинамического уравнения, которая будет обычно использоваться вместо (3.2.1).

В случае идеального газа (и поэтому хорошей аппроксимации для воздуха) имеются некоторые упрощения. Во-первых, внутренняя энергия единицы массы зависит только от температуры и равна нулю, если абсолютная температура равна нулю, так что (3.2.2) принимает вид

E = cJ, (3.2.7)

Следовательно, производную в (3.2.6) можно вычислить из уравнения состояния (3.1.14), и тогда (3.2.6) упрощается до

Т dr\ = Cpd.T - vdp. (3.2.8)

Это выражение обычно используется в метеорологии. Оно несколько неточно из-за отклонений воздуха от поведения идеального газа. Уравнение (3.1.14) можно также использовать, при-