3.5. БАЛАНС СИЛ В ПОКОЯЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ

Рассмотрим баланс сил для жидкости, находяш,ейся в покое на поверхности Земли. На малый объем жидкости действуют два вида сил: 1) давление окружающей жидкости и 2) массовые силы, вызванные гравитацией и вращением Земли.

Если бы давление на границах рассматриваемого объема жидкости было постоянным, то вследствие баланса сил давления результирующая сила обратилась бы в нуль. Результирующей силой, действующей иа единицу объема, является градиент давления Vp, так что результирующей силой, действующей на единицу массы, является величина Vp/p, где р - плотность (см. рис. 3.1). Массовые силы, рассчитанные на единицу массы, мож-

Рнс. 3.1. Действие сил давления на малый элемент объема жидкости. Суммарная сила в направлении оси х приближенно равна -8х 6у dz др/дх, так что в пределе, когда величина элемента стремится к пулю, сила, действующая на единицу объема элемента, равна (-др/дх, ~др/ау, ~dp/dz)- - Vp. Сила, действующая на единицу массы, поэтому равна -p~Vp.

НО выразить через градиент потенциала Ф, называемого геоио-тенциалом . Он равен сумме гравитационного потенциала Земли и центробежного потенциала, вызванного вращением Земли (см. [625] и гл. 4). Направление градиента УФ называется вертикальным , а величина УФ называется ускорением g, обусловленным гравитацией. В большинстве случаев достаточно считать g постоянной:

gg<: = > м/с. (3.5.1)

Б действительности земной шар таков, что в зависимости от широты величина g на уровне моря изменяется на ±0,3%, а закон обратной пропорциональности квадрату расстояния приводит к изменению g иа 0,3 % при изменении высоты на 10 км (см. приложение 2). Если бы океан покоился, то его поверхность совпадала бы с геопотеициальиой поверхностью. Эта геопотенциальная поверхность называется уровнем моря и определяется

как поверхность Ф = 0. С хорошей точностью вертикальная координата 2 соответствует расстоянию вверх от этого отсчетного уровня, так что

gz g,z. (3.5.2)

Геопотенциал иногда задается в геопотенциальиых метрах (гпм); по определению

1 гпм = 9,8 mV = 9,8 Дж/кг. (3.5.3)

Величина геопотенциала в геопотенциальиых метрах близка к высоте в метрах. Можно также определить геопотенциальную высоту Z так:

2 = Ф/е; (3.5.4)

тогда геопотенциальиая высота в метрах численно равна гео-потеициалу в геопотенциальиых метрах. Уравнение (3.5.2) устанавливает, что геопотенциальная высота примерно равна геометрической высоте. Отличие составляет менее 1 % для высот в пределах 22 км от поверхности. {Замечание. Геопотенциальный метр заменил прежнюю единицу, называвшуюся динамическим и геодииамическим метром, при котором в (3.5.3) использовался множгггель 10 вместо 9,8 (см. [471, разд. IV]). Кроме того, иногда приводятся другие значения для gc, например, в США в стандартных таблицах атмосферы используется 9,80665 м/с [595].)

Если жидкость находится в покое и в равновесии, то массовая сила уравновешивается силой давления, так что

р-1ур + уф = 0. (3.5.5)

Этому уравнению можно удовлетворить во всей жидкости, если только р и р постоянны на геопотенциальиых поверхностях, т. е. р и р зависят только от ф и удовлетворяют равенству

йр1йФ = - р. (3.5.6)

Так как поверхности постоянной высоты z определены таким образом, что они почти совпадают с поверхностями гепотен-циала, то условие равновесия можно выразить в виде

P = p{z), р = р(г), (3.5.7)

где, согласно (3.5.6) и предыдущему определению g,

dpld.z = ~gp. (3.5.8)

Последнее равенство известно как уравнение гидростатики. (Более детальное обсуждение см, в [47, разд. 1.4].)

Чтобы применить (3.5.8) для определения равновесного распределения давления, необходимо знать, как меняется плотность. Рассмотрим вначале океан, в котором плотность отли-

чается (за исключением нескольких необычных мест) менее чем на 2 % от постоянной величины рс, равной

р,= 1035 кг/м1 (3.5.9)

Поэтому, интегрируя (3.5.8), получаем приближенно

P = P.-gPcZ, (3.5.10)

где Ра - атмосферное давление на поверхности земли. Величина Ра близка к 1 бару, а плотность такова, что давление возрастает

20 30°

34 36

(28,5)

- 2 км

-4 км

30 40 24 26 28 30

Рис. 3.2. Границы температуры т (в °С) и солености 5 для 98 % океана как функция глубины [99] и соответствующие границы плотности о и потенциальной плотности Cq (см. приложение 3).

примерно на 1 бар каждые 10 м. Поэтому давление в океане часто измеряют в децибарах (дбар), так как давление в децибарах и глубина в метрах очень близки по числовым значениям. Если принять в расчет изменения плотности с глубиной, то можно получить более точное описание. Рис. 3.2 показывает амплитуду температуры, солености и плотности, вычисленные для 98 % океана на калдой глубине. Обычно колебания потенциальной плотности (см. разд. 3.7) обусловлены главным образом колебаниями температуры, а не солености. Температурные градиенты, как правило, малы глубже 1500 м (1500 дбар или 150 бар). Область больших градиентов иа меньших глубинах называется термоклином. Соответствующая область больших градиентов потенциальной плотности называется пикноклином. Иногда наблюдаются градиенты плотности, обусловленные соленостью, а не температурными колебаниями; соответствующая область называется галоклином. Область большого температур-