а {j- pu)/ + V . F = - wgp - ре + pV . u, (4.6.3) F = (/ + Y 9П) u - fxV (]- u2) (4.6.4)

будет называться вектором плотности потока энергии, поскольку он определяет скорость потока энергии через единичную площадку. Однако он определен неоднозначно. Например, любой вектор с равной нулю дивергенцией можно добавить к F без изменения (4.6.3). Как и ранее, имеется другой вид уравнения (4.6.3), но без штрихов, т. е. с давлением вместо возмущенного давления и плотностью вместо возмущенной плотности. В этом случае в (4.6.3) и (4.6.4) пспользуется F вместо F.

В частном случае жидкости с постоянной плотностью р =0, п, согласно (4.2.3), V-u = 0. Тогда уравнение (4.6.3) упрощается:

д рауд! + V . F = - ре. (4.6.5)

Физическую интерпретацию этого уравнения иллюстрирует рис. 4.6 (см. также рис. 4.2). Масса жидкости изображенного

) Для упрощения обозначении пишется вместо и-и.

системы можно получить другие полезные уравнения, используя простые вычисления.

В этом разделе рассматривается уравнение для механической или кинетической энергии.

Кинетическая энергия единицы массы определяется формулой uY2). Уравнение для скорости изменения этой велич(И1Ы при движении материального объемного элемента получается при скалярном умножении (4.5.20) на и, что дает

pD {}n)/Dt = - wgp + V . (- pu -f xV (-1 u2)) p8 -f pV . u,

(4.6.1)

всегда положительно и называется скоростью диссипации (см. ниже).

Применяя ту же процедуру, из (4.5.14) получаем уравнение (4.6.1), но уже без штрихов. Заметим, что скалярное произведение U с ускорением Кориолиса в (4.5.20) тождественно равно нулю, поэтому в (4.6.1) отсутствует член, связанный с ускорением Кориолиса.

Уравнение (4.6.1) можно преобразовать в уравиеиг-ге для фиксированного объемного элемента. Применяя (4.3.6), находим

Пространственного элемента равна рбхбуёг. Поэтому ее кинетическая энергия по определению равна {\/2)риЧхду6г. Она может изменяться за счет: (а) переноса энергии через стороны элемента или (б) потери энергии внутри элемента. Скорость переноса энергии, связанная с показана для двух сторон элемента иа рисунке, где F - составляющая F в направлении оси л;.

Скорость потери энергии за счет вязкой дисвииаи,ии=гЪхЪу 8z

Рис. 4.6. Баланс механической энергии для фиксированного прямоугольного объемного элемента в однородной жидкости плотности р. Показаны потоки через пару граней, где F есть х-компоиента потока плотности механической энергии F. Они дают вклад в общую потерю энергии в единице объема, равную dFjdx\ две другие пары граней дают вклады dFyjdy, dFjdz, где F и F есть у- и z-компоиенты F. Баланс энергии для элемента нельзя описать

полностью в терминах потоков через грани. Имеется дополнительная потеря энергии в единице объема, равная ре, где е - положительная величина, называемая коэффициентом диссипации.

Сложение потоков через все стороны дает общее увеличение энергии

-{-шЛ-щП + ж Р) =

С требуемой точностью. Это приводит к члену V-F в (4.6.5) после деления на объем бхбуЬг и перехода к пределу при стремлении сторон элемента к нулю.

Согласно (4.6.4), отдельные вклады в скорость F6x(>z переноса энергии через площадку бубг следующие:

(i) pudydz,

(ii) /puhidydz,

(i.ii) -iiid{/2u)/6x)-6y6z.

Первый вклад есть произведение pbydz, перпендикулярной к площадке силы, соответствующей возмущенному давлению р\

И скорости и движения в направлении силы. Следовательно, он представляет собой интенсивность работы силы давления иа этой плоидадке. Второй вклад есть скорость адвекции кинетической энергии через площадку. Третий вклад можно интерпретировать как скорость диффузии кинетической энергии через площадку, вызванной процессами вязкости.

Остальной вклад в скорость изменения кинетической энергии элемента, согласно (4.6.5), равен

- ре бх dybz.

Он интерпретируется как скорость потери энергии внутри элемента из-за процессов вязкости. Поэтому е называется скоростью диссипации механической энергии в единице массы или просто скоростью диссипации.

Ту же самую идею можно применить к большому объему жидкости, разбивая его мысленно на малые элементы, аналогичные показанным на рнс. 4.6. Перенос энергии через стороны элементов представляет собой просто поток энергии от одной части жидкости к другой и, следовательно, не дает вклада в баланс энергии большого объема, за исключением вкладов от внешней поверхности этого объема. С другой стороны, диссипация в каждом элементе дает вклад в потерю общей энергии большого элемента. Другими словами, интегрирование (4.6.5) по объему дает уравнение для скорости изменения

K=[-pn4xdydz (4.6.6)

кинетической энергии объема жидкости. Это уравнение имеет вид

dK/dt -f 5 и rf5 = - 5 5 ре dy dz, (4.6.7)

где F обозначает составляющую потока через поверхность элемента в направлении внешней нормали к этой поверхности, Й5 - элемент поверхности, так что этот интеграл представляет скорость полного переноса энергии через поверхность. Интеграл в правой части берется по всему рассматриваемому объему. Например, рассматриваемый объем может быть частью океана ниже некоторой поверхности постоянного уровня. Тогда (4.6.7) утверждает, что изменения в кинетической энергии происходит за счет переноса энергии через эту поверхность, переноса эиср-гни через дно и диссипацию энергии внутри объема.

Итак, можно получ[1ть уравнение для большого материального объема жидкости, т. е. для объема с подвижными границами, по все время состоящего из одних и тех же жидких частиц. Примером может служить океан, который ограничен