В последней части работы Лапласа О волнах (Euvres, 1893, с. 301-310) рассматривается задача, которая будет изучаться в двух следуюи;их разделах, а именно задача о приспособлении к равновесию однородной жидкости постоянной глубины, у которой свободная поверхность в начальный момент имела небольшое отклонение. В частности, Лаплас вывел соотношение (5.3.8), которое показывает, что возмущения удаляются от области отклонения со скоростью, зависящей от кривизны поверхности жидости.

5.2. ВОЗМУЩЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ПОКОЯ в ОДНОРОДНОЙ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Рассматриваемое здесь состояние равновесия относится к жидкости постоянной плотности рс, которая находится в покое и имеет постоянную глубину . Хороший пример такого рода представляет искусственный водоем с плоским дном. Чтобы иметь возможность точно воспроизвести движение, которое возникает при возмупдеиии этой системы (если, например, бросить в нее камень), необходимо задать систему координат. Удобной системой являются декартовы координаты (.v, , z), выбранные так, что ось z направлена вертикально вверх, свободная повсрх-iiocTb совпадает с г = 0, а дно с z=-Я. В равновесном решении скорость равна нулю, и давление определяется согласно уравнениям гидростатики (3.5.8) или (4.5.18). Равновесное давление Po{z) в этом случае задается в следуюи1,ем виде:

Po{z) = -g9z, (5.2.1)

где р - плотность in situ, равная рс в жидкости и нулю выше нее, а g есть ускорение силы тяжести, (Если в области г > О находится какая-либо жидкость, то считается, что она имеет нулевую плотность.)

Предположим теперь, что равновесие подвергнуто небольшому возмуидению. Возмущения будем считать настолько малыми, что их произведениями можио пренебречь по сравнению с величинами самих возмущений. Предположим, что [и, v, w) есть компоиегггы скорости по координатным осям (л, у, z) и что возмущенное положение свободной поверхности (см. рис. 5,3) задается как

z = r\{x, у, /). (5.2.2)

Возмущение давления для этой задачи удобно определить в виде

Р = ~№ + р, (5.2.3)

где р - плотность in situ, т. е. рс в жидкости и нуль выше ее. (Это определение отличается от определения из разд. 4,5 только

В бесконечно малой области между возмущенным и невозму-щенным полол<ениями свободной поверхности.)

Уравнения движения состоят из уравнения неразрывности (4.2.3) и уравнений баланса импульса для невязкой жидкости (4.5.7)-(4.5.9). Поскольку плотность жидкости постоянна, скорость вращения Q равна нулю и произведения величии возмущений являются пренебрежимо малыми, уравнение неразрывности в этом случае принимает вид

dujdx -f- dvldy -4- dwidz = О,

(5.2.4)

a уравнения для импульса записываются следующим образом:

-Н I-- р ди/д( - - др/дх,

Рис. 5.3. Геометрия возмущен- pdv/dt = - др/ду, (5.2.6)

ной поверхности. Смещение из , ,g

состояния покоя равно ц, а не- \juuu/ui wfj /ил. yo.c.Kjf

возмущенная глубина равна Н. СклаДЫВая ПрОИЗВОДНЫе ПО X, у н г

от трех приведенных выше компонентов уравнения баланса импульса и используя уравнение неразрывности (5.2.4), можно получить в результате уравнение Лапласа для р:

у2р дУ/дх + dpldy + dpldz = 0. (6.2.7)

(В связи с настоящей задачей заметим, что Лаплас [431, Buvres ] нашел его как уравнение для вертикального смещения материальной частицы.) На дне z = -Н (см. разд. 4.11) должно выполняться условие отсутствия нормального потока, т. е.

w = 0 при z = - H. (5.2.8)

Условие, что частица, находящаяся на свободной поверхности 2 = Г], будет оставаться на ней (см. разд. 4.11.1), в рассматриваемом случае имеет вид

D{z - r\)lDi = О,

то есть

W == dr\ldt + и дфх + V с1ц1ду. (6.2.9)

Для малых возмущений оно упрощается следующим образом: w - dx]ldi при z=--r\. . (5.2.10)

Кроме того, на свободной поверхности давление должно равняться нулю, т. е. согласно (5.2.3)

/? = Ро + Р =0 иди р = рЯЛ при гц. (6.2.11)

Поскольку различия решений для w и р\ взятых при z = r] и z = 0, также малы, то уравнения (5.2.10) и (5.2.11) можно записывать при г = О, что справедливо с точностью используемой аппроксимации первого порядка.

Задача свелась к решению уравнения Лапласа (5.2.7) при граничных условиях (5.2.8) на дне и (5.2.10), (5.2.11) при 21 = 0. Фадтически она имеет множество решений, зависящих от начального условия, т. е. от характера возмуи1,еиия в начальный момент. В следующем разделе будут рассмотрены решения, в которых р синусоидально меняется по горизонтали. Это не приводит к существенным ограничениям, поскольку, согласно теореме Фурье, произвольное возмущение можио представить в виде суперпозиции таких волн.

6.3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ

Возмущение, изменяющееся синусоидально по горизонтальным переменным, может иметь форму бегущей или стоячей волны. В частности, бегущая волна записывается в виде

г\ = г\о cos (kx-\-ly - Ш), (5.3.1)

где т]о - амплитуда, вектор к = (-, /)-это волновой вектор (он определяет число волн в единице длины), со - частота, а величина

ф = л: + у ~ ю/ = к X - со/ (5.3.2)

называется фазой волны. Подобная волна состоит из синусоидальной складки на поверхиостн, которая движется с постоянной скоростью. На рис. 5.4 показана схема волны и ее разрезы по нормали к гребням волны и вдоль оси л-. На разрезе, перпендикулярном волновым гребням, виден ряд воли с длиной 2ях-\ где %, задаваемое формулой

>2 = /2 4-/2, (5.3.3)

есть длина волнового вектора (волновое число). В этой плоскости гребни движутся со скоростью

с = соЫ, (5.3.4)

именуемой фазовой (т. е. скорость движения линий постоянной фазы Ф). Скорость движения в любой другой плоскости кажется более быстрой в число раз, равное секансу угла между этой плоскостью и плоскостью, нормальной к гребням. Например, срез иа рис. 5.4 вдоль оси х показывает видимую длину волны 2nk~\ которая превосходит длину волны в плоскости, нормальной к гребням. Видимая скорость ее распространения оказывается соответственно более высокой. Это обстоятельство