Как и раньше, компоненты скорости исключаются из этих уравнений. Имеем

= Я, + ) + gh) = {g - g + gh).

(6.2.10)

Здесь было использовано (6.2.8).

Приспособление системы, состоящей из двух жидкостей, таким образом, определяется уравнениями (6.2.5) и (6.2.10). Если, скажем, ц было бы исключено из них, то получилось бы уравнение в частных производных четвертого порядка относительно h. Однако задачу можио сильно упростить, отыскивая решения со специальной структурой, а именно решения, для которых ц и h пропорциональны, т. е.

/г{х, /у, i)==\ir]{x, у, /), (6.2.11)

где л не зависит от х, у и t. Тогда (6.2.5) и (Р 2.10) приводятся к уравнению второго порядка

а2п/а/2 == с2у-г1 (6.2.12)

при условии, что и с1 удовлетворяют условию

, gHJil-ix) = ii-4g-gil-II)) я, = 4 (6.2.13)

Это упрощение является примером метода, который может быть использован для широкого класса задач механики, описывающих малые осцилляции. Действительно, Лэмб (1932) [429] в курсе гидродинамики отводит первый раздел главы о приливных волнах изложению общей теории этого приема из-за его широкой применимости. Для настоящей задачи существуют два значения Се и поэтому два значения р., которые удовлетворяют полученному уравнению. Движения, соответствующие этим частным значениям, называются нормальными модами колебаний, В системе, состоящей из п слоев различной плотности, существует п таких мод, соответствующих п степеням свободы. Непрерывно стратифицированной жидкости соответствует бесконечное число слоев, и поэтому существует бесконечное множество мод. То, что каждая из этих мод ведет себя независимо, очень удобно, и это свойство будет неоднократно использоваться. Независимость каждой моды можно видеть из того, что если h и ц удовлетворяли (6.2.11) в некоторый начальный момент, то они будут удовлетворять (6.2.11) и для всех последующих времен, поэтому будут происходить колебания только с одной модой. С другой стороны, любое данное начальное состояние можно представить как сумму мод, изменение каждой из которых во времени и пространстве происходит независимо от другой.

Состояние жидкости можно тогда получить суммированием всех мод.

Структура мод получается в результате решения квадратного уравнения (6.2.13) (сравни Стоке [747, разд. 17]), которое можно записать в другой форме:

о1 - gHcl + ggHH, = О, (6.2.14)

Я = Я, + Я2 (6.2.15)

- общая глубина жидкости в состоянии равновесия. Каждому из двух решений (или собственных значений) уравнения (6.2.14) соответствуют отдельная нормальная мода, представленная уравнением (6.2.11), и соответствующее значение р,. Для случая нескольких слоев существует значение уц, соответствующее перемещению Ы каждой поверхности раздела, поэтому р, есть собственный вектор задачи.

Другой способ выражения эквивалентности между нормальной модой двухслойной системы и движением однослойной системы состоит в том, чтобы определить эквивалентную глубину Йе С помощью равенства

ol = gH. (6.2.16)

Тогда Tie удовлетворяет тому же самому уравнению, что и возмущение поверхности в однородной жидкости глубины Не- С помощью (6.2.14) находим характеристическое уравнение для Н&:

еЩ - gHH + gH.H = 0. (6.2.17)

Применительно к океану можно сделать упрощения, так как в океане изменения плотности малы (порядка 3%о), т. е. glg=i == 1-pi/p2 0,003. Поэтому два корня с\ уравнения (6.2.14) сильно отличаются друг от друга. Больший корень приближенно дается выражением

clgH{\-~gHfll{gm) (6.2.18)

а отношения x\(h и ulux приближенно равны

ф Я/Я2, щ1щ = 1 - gHJ{gH) .... (6.2.19)

В пределе g/g-O это приводит к поверхностной гравитационной волне, полученной для однородной жидкости. Ее часто называют баротропной модой. Точное значение термина баротроп-ный состоит в том, что давление постоянно на поверхностях постоянной плотности, следовательно, постоянно на поверхности раздела. Это верно только приблизительно, тем не менее эту моду принято называть баротропной.

Меньший корень с\ уравнения (6.2.14) определяется при малых g/g формулой

с\ = {gH,H,IH) (1 -Ь gH,H,/{g№) ...), (6.2.20)

а соответствующие значения отношений ц/к и U2/u\ имеют приближенные выражения

ф - gHI{gH), ищ -Ну/Щ. (6.2.21)

Эта мода называется бароклинной; слово бароклинная означает, что давление не постоянно на поверхностях постоянной плотности. Типичные значения ci для океана 2-3 м/с, что соответствует эквивалентной глубине 0,5-1 м. Двухслойная модель для атмосферы используется нечасто, но когда она используется, Ci обычно имеет значения 10-20 м/с, а эквивалентная глубина равна 10-50 м. Часто глубина одного из слоев намного больше, чем другого, например Яг Ни и тогда (6.2.20) принимает вид

cf gH,. (6.2.22)

Тогда внутренняя волна будет точно такой же, какой была бы поверхностная гравитационная волна, если бы ускорение силы тяжести равнялось g вместо g. Это следует из того, что именно g\ а не определяет теперь разность давлений (см. разд. 5.1).

Так как g <С g, волновая скорость внутренних волн гораздо меньше, чем волновая скорость поверхностных волн, так что внутренние волны выглядят как поверхностные волны в медленном движении. Это различие объясняет явление, упомянутое Б. Франклином ([219], стр. 438) в письме от 1 декабря 1762 г. На Мадейре мы раздобыли масло для освещения, и с помощью простого стеклянного бокала или стакана, обвязанного проволокой и подвешенного к потолку каюты... я сделал итальянскую лампу. Стакан на дне содержал воду примерно на одну треть своей высоты; другая треть была занята маслом.... За ужином, глядя на лампу, я заметил, что, хотя поверхность масла была совершенно спокойной и должным образом сохраняла свое положение относительно края стакана, вода под маслом была в великом волнении, поднимаясь и падая беспорядочными волнами... . Эксперимент Франклина можно поставить иа кухне за минуту или две, и читателям предлагается проделать его. Инструкции даны в следующем абзаце (стр. 439) письма Франклина. После моего прибытия в Америку я часто повторял эксперимент следующим образом. Я обматывал бечевку вокруг стакана, оставляя два свободных конца с обеих сторон, и связывал эти концы сверху узлом иа высоте примерно одного фута от верха стакана. Затем, налив столько воды, чтобы стакан был наполнен приблизительно на одну треть,