158 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности оюидкости где

ci:=gH,H,l{H, + H,) (6.3.7)

есть квадрат скорости распространения бароклинной моды. Это то же самое значение, которое получается из уравнения (6.2.20) в пределе g/g->-0. Другой формой равенства (6.3.7) является уравнение

+T7V- (6.3.8)

для эквивалентной глубины H = cyg. Для типичных океанических значений g = 0,03 м/с, i=400 м. Яг = 4000 м получаем Не I и.

6.4. ПРИСПОСОБЛЕНИЕ ВНУТРИ НЕПРЕРЫВНО

СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

До сих пор изучение приспособления к равновесию под действием силы тяжести было ограничено л<идкостью, которая имела однородную плотность, либо системой, состоящей из двух несмешивающихся жидкостей, каждая постоянной плотности. Особое значение придавалось двил<ениям, для которых горизонтальный масштаб велик по сравнению с вертикальным масштабом. В оставшейся части этой главы изучение процессов приспособления будет распространено на непрерывно стратифицированные жидкости, т. е. на жидкости с непрерывно изменяющейся плотностью. Вначале не будет предполагаться никаких ограничений на масштабы, хотя особое внимание в последующих главах будет уделяться движениям с относительно большим горизонтальным масштабом, так как они содержат гораздо большую часть энергии.

Для начала ограничимся лшдкостями, у которых плотность зависит только от энтропии и от состава, т. е. р Зависит только от потенциальной температуры 6 и от концентраций компонент, например от солености s или влажности q. Тогда для фиксированных Q и q (или 5) р не зависит от давления:

Р = Р(0, q). (6,4.1)

Предполагается, что движение, которое имеет место, долл<но быть изэнтропическим и без фазовых переходов, так что 0 и q постоянны для материального элемента. Поэтому

j3Ei£-- + -- = 0 (6 4 2>

т дв Dt dq Dt Кл.г}

Другими словами, р постоянно для материального элемента потому что О и постоянны, а р зависит только от G и q. Такая

жидкость будет называться несжимаемой, и с учетом (6.4.2) уравнение неразрывности (4.2.3) принимает вид (4.10.12), т. е.

ди/дх + dv/dy + dw/dz = 0. (6.4.3)

Равновесное состояние, возмущения которого мы рассматриваем, является состоянием покоя, поэтому распределения плотности и давления соответствуют гидростатическому равновесию, заданному уравнениями (4.5.17) и (4.5.18). При отсутствии вращения и трения, уравнения сохранения количества движения (4.10.11) для малых возмущений давления р и плотности р принимают вид

Ро du/di = - dp/dx, Ро dv/dt = - dp/ду, (6.4.4)

Роdw/dt = - др/dz - pg, (6.4.5)

где po(z) - невозмущениая плотность, g - ускорение силы тяжести. До данного момента никаких ограничений на горизонтальный масилтаб не deлaлocь, поэтому не использованы никакие предположения, кроме малости возмущения. Определяющими уравнениями являются уравнения (6.4.3) - (6.4.5), и линеаризованная форма уравнения (6.4.2) соответствует малым возмущениям, а именно

dp/dt-{-wd9o/dzQ. (0.4.6)

Вычисления, основанные на этих уравнениях, были сделаны Рэ-леем [656, с. 170], для того чтобы проиллюстрировать теорию перистых облаков, выдвинутую покойным проф. Дживонзом .

Первый щаг при рассмотрении этих уравнений тот же, что использовался для однослойной и двухслойной системы, а именно: исключить и, V из уравнений сохранения количества движения и уравнения неразрывности. Дифференцируя по времени уравнение (6.4.3) и подставляя в него выражения для компонент ускорения из (6.4.4), находим

Ро -ШГ = + ) нР- (6.4.7)

Это уравнение можно рассматривать как связь между горизонтальной дивергенцией du/dx-\- dv/dy ~-dw/dz и возмущенным давлением р.

Для стратифицированной системы нужна другая связь между W и р\ Она получается исключением р из (6.4.5) и (6.4.6):

dw/df- JrNw - p-dY/idz dt), (6.4.8)

где N{z)-величина фундаментальной важности для этой задачи (выражения для N см. в разд. 3.7.1). Она определяется формулой

N=-~g9-dpJdz. (6.4.9)

д Г д , д , I д г д

(6.4.10)

Это уравнение определяет, каким образом происходят приспособления малой амплитуды внутри непрерывно стратифицированной несжимаемой жидкости.

Точные решения этого уравнения можно найти в частных случаях, например когда плотность изменяется экспоненциальгю с высотой. Однако существует упрощение, которое всегда служит хорошим приближением для океана и справедливо для многих приложений к атмосфере. Оно основано па наблюдении, что если W изменяется с изменением z гораздо быстрее, чем ро, то тогда

и поэтому (6.4.10) можно приближенно записать в виде

д.к ду dz J

Для океана ро никогда не отклоняется более чем иа 2 % от своего среднего значения, поэтому с очень хорошей точностью можно Ро считать постоянной, как это следует из (6.4,11).

Другая формулировка условий, при которых справедливо (6.4.11), состоит в требовании, чтобы вертикальный масштаб

N имеет размерность частоты и известна как частота Вяйсяля - Бранта, частота Бранта (согласно [94] ), частота Вяйсяля (согласно [805] ) и частота плавучести (см., например, [795] ). Другие названия (такие как частота устойчивости и внутренняя частота) также использовались, но название частота Бранта - Вяйсяля, по-видимому, является наиболее распространенным. Однако Рэлей (1883) привлек внимание к этой частоте (как максимально возможной в стратифицированном слое) значительно раньше Бранта и Вяйсяля. Частота плавучести является более уместным названием с точки зрения физики. Это связано с решением для чисто вертикального движения, для которого р равно нулю, и поэтому из (6.4.8) следует, что частота колебаний равна N. Восстанавливающая сила, которая создает колебания, является силой плавучести (см. (6.4.5)).

Теперь должны выполняться два уравнения, а именно (6.4.7) и (6.4.8). Полезно рассматривать (6.4.7) как уравнение, связанное с горизонтальной частью движения, так как оно получено из горизонтальной части уравнений сохранения количества движения, а (6.4.8)-как уравнение, связанное с вертикальной частью движения, так как оно получается из вертикальной компоненты (6.4.5) уравнения сохранения количества движения. При исключении р получается единственное уравнение для w, а именно