ДЛЯ изменений ш был бы мал по сравнению с масштабом изменения ро, т. е. был бы мал по сравнению с приведенной высотой Hs. (см. разд. 3.5). Если это условие удовлетворяется, то оказывается, как будет видно нилсе, что (6.4.12) является хорошей аппроксимацией даже тогда, когда жидкость сжимаема (и наоборот, если это условие не удовлетворяется, сжимаемостью пренебречь нельзя). Так как установлено, что вертикальное распространение внутренних воли в атмосфере обычно удовлетворяет этому условию, то (6.4,12) можно с успехом использовать применительно к атмосфере.

Приближение, которое применимо, когда движение имеет вертикальные масштабы, малые по сравнению с приведенной высотой, называется приближением Буссинеска (см., например, [739] ); впервые оно появилось в работе [78]. По существу оно состоит в том, что плотность считается постоянной при вычислении скоростей изменения количества движения иа основании ускорений, но изменения плотности учитываются полностью, когда они порождают силы плавучести, т. е. когда имеется множитель g в вертикальной компоненте уравнений количества движения. Для случая, рассмотренного в этой главе, это означает, что ро постоянна в (6.4.4) и (6.4.5) и, следовательно, в (6.4.7) и (6.4.8). Эффекты плавучести входят в (6.4.5) в виде члена pg , который приводит к члену Nw в (6.4.8).

6.6. ВНУТРЕННИЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ

Рассмотрим случай, в котором частота плавучести (Бранта- Вяйсяля) N постоянна по всей жидкости. Решение уравнения (6.4.12) типа бегущей волны можио найти в виде

w - Wq cos (kx + ly -\~ mz - (at), (6.5.1)

где Wo - амплитуда флуктуации вертикальной скорости; вектор

k = ik,l,m) (6.6.2)

- волновой вектор возмущения, а © - частота. Для того чтобы (6.5.1) удовлетворяло уравнению (6.4.12), со и к должны быть связаны дисперсионным соотношением

2 == (/г2 Н- /2) 7v7(2 + /2 + m2). (6.5.3)

Таким образом, внутренние волны могут иметь любую частоту между нулем и максимальным значением Л. Как отметил Рэлей (1883) [656, с. 174], в противоположность тому, что встречается в большинстве вибрирующих систем, существует предел быстроты вибрации, но ие ее медленности .

Дисперсионное соотношение для внутренних волн носит совершенно другой характер, чем дисперсионное соотношение для поверхностных волн. В частности, частота поверхностных волн

6 Зак, 744

зависит только от модуля % волнового вектора, тогда как частота внутренних волн не зависит от модуля волнового вектора, а зависит только от угла ср который волновой вектор составляет с горизонталью. Чтобы выявить это, полезно определить волновой вектор в сферических координатах (V, ср %) в пространстве волновых чисел (см. рис. 6.5), а именно

/г = %созф cos Я, / = х cos ф sin Х\ /п = % sin ф. (6.5.4)

Штрих используется для того, чтобы отличить угловые координаты волнового вектора от углов в физическом пространстве. Тогда дисперсионное соотношение (6.5.3) принимает вид

со = Я cos ф. (6.5.5)

Изменения величии , р, и V для плоской волны (6.5.1) можно получить из соответствующих

уравнений. Зависимости между этими переменными иногда называются поляризационными соотношениями. Возмущенное

рис. 6.6. Система сферических координат в пространстве волновых чисел, используемая для выражения дисперсионного соотношения для внутренних волн. Для этих воли частота (О не зависит от модуля х волнового вектора, а зависит только от направления ф между волновым вектором и горизонтальной плоскостью. Дисперсионное соотношение имеет вид со = М cos ф.

давление р\ согласно (6.4.7), задается формулой

(2 . 2j-i (ц/прщ cos {kx -\-ly -\-mz - (at), (6.5.6)

тогда как из (6.4.6) находится выражение для возмущенной плотности

= - (Л/2/со) роШо sin {kx -\-ly-{-mz - со/). (6.6.7)

Отметим, что два последних уравнения вместе с (6.5.3) означают, что для плоской набегающей волны

dp/dz = - {тЩ + /2 + т2)) gp\ (6.5.8)

Горизонтальные компоненты скорости можно найти из (6.4.4). Имеем

{и, v) = -{k, l){k+l)

= {k, I) (copo) p

mwo cos {kx ly -{-mz - (at) -

(6.5.9)

Эти отношения между давлением и флуктуациями скорости можио использовать для вывода свойств волн из наблюдений в фиксированной точке. Например, если измерены горизонтальные компоненты скорости и возмущенное давление набегающей волны, то горизонтальную компоненту волнового вектора можно получить из (6.5.9). Этот прием был использован, например, в [269].

Схема, показывающая свойства плоской набегающей внутренней волны в вертикальной плоскости, содержащей волновой вектор, представлена на рис. 6.6. Двил<ение частиц ироисхо-

Рис. 6.6. Схема, показывающая в вертикальной плоскости фазовые соотношения для прогрессивной виутреиией волны с фазовой скоростью, направленной вниз (это означает, что групповая скорость направлена вверх). Сплошными линиями обозначены линии максимального (высокого) и минимального (низкого) давления, которые одновременно являются линиями максимальной и минимальной скоростей; направление движения будет таким, как показано. Штриховые линии обозначают положения максимума (тяжелый) и минимума (легкий) возмущении плотности. Если направление расиростраиения фазы изменить на противоположное, в диаграмме изменится иа противоположное только направление движения.

дит вдоль волновых гребней, а градиент давления в этом направлении отсутствует. Восстанавливающая сила, действующая на частицу, следовательно, обусловлена исключительно составляющей силы тяжести gcoscp в направлении движения. Восстанавливающая сила также пропорциональна составляющей изменения плотности в этом направлении, равной cos pdp/dz на единицу перемещения. Из второго закона Ньютона следует, что квадрат частоты колебаний равен

р~ cos ф cos dp/dz = (Л cos ф).