Это равенство дает физическую интерпретацию дисперсионного соотношения (6.5.5).

Рассмотрим теперь последовательность решений, когда ф постепенно увеличивается от нуля до прямого угла. Когда ф = О, то вертикальная линия, составленная из частиц, движется как твердая проволока, испытывающая продольные колебания. Когда линия частиц смещается от своего положения равновесия, восстанавливающие силы плавучести начинают действовать в точности так, как если бы линия из частиц была подвешена на пружинке, что приводит к колебаниям с частотой N. Решения для других значений соответствуют линиям из частиц, движущихся совместно под углом ф к вертикали. Восстанавливающая сила иа единицу перемещения меньше, чем для случая ф = О, и поэтому частота колебаний соответственно меньше. Когда ф стремится к л/2, частота колебаний стремится к нулю.

Крайний случай совершенно горизонтального движения требует специального изучения, так как он служит сингулярным пределом, при котором решение уравнения (6.4.12) становится тривиальным, ш = 0. В этом случае общее решение уравнений (6.4.3)-(6.4.6) имеет вид р= р== О, а м и у могут быть произвольными функциями от X, у и Z, удовлетворяющими условию

ди/дх-j-dv/dy = 0. (6.5.10)

Другими словами, каждая горизонтальная плоскость, состоящая из частиц, может двигаться независимо от любой другой аналогичной плоскости, однако движение внутри каждой плоскости должно быть бездивергентным. Это решение можно представить в виде

w = р = = 0, и==: - д\р/ду, v=d\\>/dx, (6.5.11)

где ij) - произвольная функция от х, у и z. Это решение не является внутренней волной или даже предельной формой ее, но оно представляет важный вид движения, который часто наблюдается. Например, при полетах на самолете очень часто видны толстые слои облаков, причем они плоские и весьма протяженные. Калодый слой облаков движется в своей собственной горизонтальной плоскости, но различные слои движутся относительно друг друга, согласно (6.5.11). Если гора пронзает такой слой, то возможно двйл<еиие вида (6.5.11) с плоским потоком вокруг горы в каждом горизонтальном слое. Эффектными следствиями этого являются вихревые цепочки, наблюдаемые позади островов [260]. Связанные с этим явлением экспериментальные исследования см. в [86]. Однако невозмол<но получить решение вида (6.5.11), представляющее однородный поток, нор-

мальный к оси хребта, на уровнях ниже гребня хребта. Горные хребты, таким образом, иногда задерживают поток. Это явление называется блокированием.

6.6. ДИСПЕРСИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ

На практике гравитационные внутренние волны никогда не имеют в точности вида (6.5.1), поэтому необходимо рассматривать суперпозицию таких воли. Дисперсионные эффекты становятся очевидными, когда различные волны имеют разные фазовые скорости, как было показано в разд. 5.4. Дисперсия внутренних волн совершенно отлична от дисперсии поверхностных волн; одна из причин этого состоит в том, что частота внутренних волн не зависит от модуля волнового вектора, тогда как частота поверхностных волн не зависит от направления волн.

Для внутренних волн поверхностями постоянной частоты в пространстве волновых чисел являются конусы ф = const, показанные на рис. 6.7. Фазовая скорость направлена вдоль волно-

>1.0

Рис. 6.7. Для внутренних воли (враи;еиия нет) поверхностями постоянной частоты в пространстве волновых чисел, как показано, являются конусы, контуры которых определяются величинами ш/Л/, где (о - частота, о. N - частота плавучести. Групповая скорость направлена перпендикулярно конусу в-иаправ-леиии возрастания частоты, как показано одним видом стрелок, тогда как фазовая скорость направлена вдоль конуса от начала координат, как показано другим видом стрелок.

вого вектора и, следовательно, лежит на конусе, ее величина равна

со/% = {N1%) cos ф.

Групповая скорость Cg, согласно (5.4.11), является градиентом (О в пространстве волновых чисел и, следовательно, нормальна к поверхности постоянного о). Отсюда следует (как и

Рис. 6.8. Различие между дисперсионными характеристиками внутренних волн и поверхностных гравитационных волн, проиллюстрированное поведением соответствующей комбинации четырех прогрессивных волн, {а) Начальная конфигурация группы внутренних волн с волновыми гребнями, составляющими 60° с вертикалью. Показаны контуры возмущения давления, где оно равно максимальной величине, умноженной на 0,5. (б) Конфигурация спустя четыре периода. Группа сдвинулась параллельно гребням и вверх, в то время как отдельный гребень АА продвинулся на четыре длины волны вниз и влево. Чтобы сравнить это поведение с поведением поверхностных волн, предположим, что {а) теперь показывает вид диаграммы подобной комбинации поверхностных волн, контуры теперь будут там, где возвышение поверхности равно максимальному значению, умноженному на 0,5. Тогда {в) показывает конфигурацию спустя четыре периода. Волновой гребень АА снова сдвинулся на четыре длины волны, но теперь группа сдвинулась на две длины волны в том же направлении,

ДЛЯ любых волы, частота которых ые зависит от модуля волнового вектора), что групповая скорость направлена под прямым углом к волновому вектору. Когда групповая скорость имеет компоненту, направленную вверх, то, следовательно, фазовая скорость имеет компоненту, направленную вниз, и наоборот. Согласно (5.4.11),

Cg = {N1%) sin ф (sin ф cos V, sin ф sin X\ - cos ф)- (6.6.1)

Следовательно, модуль групповой скорости равен (/V/-/t)sin ф, а ее направление составляет угол ф с вертикалью.

Рисунок 6.8 показывает, как дисперсионные свойства внутренних волн отличаются от дисперсионных свойств поверхностных гравитационных волн. В каждом случае изображенное волновое поле является простой комбинацией четырех волн равной амплитуды с волновыми векторами к±бк±бк, где бк и бк малы по сравнению с к, а бк направлено туда, где не проис-