ДЛЯ потоков. Таким образом, вектор плотности потока энергии определяется соотношением (см. гл, 4)

Г = Уй. (6.7.8)

F обладает тем свойством, что когда его нормальная составляющая, направленная нарулсу, интегрируется по поверхности большого объема, то она дает скорость потока энергии, поки-даюидего рассматриваемый объем.

Для плоской волны, заданной формулой (6.5.1), возмущение давления р и возмущение скорости и находятся в фазе (см. рис. 6.6), поэтому модуль F имеет величину (см. (6.5.6) и (6.5.9))

1 CD sin ф Шо

2 %со52ф fO o СОЗф

а его направление совпадает с направлением скорости частицы иа гребнях высокого давления, т. е. с направлением групповой скорости. Р1з (6.7.7), (6.6.1) и (6.5.5) следует, что

F = Ece. (6.7.9)

Этот результат в действительности справедлив для более широкого класса волн (см. [854, гл. 11]).

Для задач, в которых рассматривается вертикальное распространение энергии, например энергии, получаемой, на земле, интересна - вертикальная составляющая которая для решения в виде плоской волны (6.5.1) задается с}зормулой

K = --J (mpX/{k- +1). (6.7.10)

Таким образом, если бы возникла ситуация, когда нет движения на некоторой более низкой границе, но имеется бегуищя волиа вида (6.5.1), пересекающая верхнюю границу, то тогда энергия увеличилась бы, когда распространение фазы было направлено вверх (со/тО), и уменьшалась бы, когда распространение фазы было направлено вниз (о)/т < 0). Это указывает на свойство, состоящее в том, что энергия переносится вверх, когда распространение фазы направлено вниз, и наоборот.

Другой вид уравнения энергии (6.7.1) получается интегрированием этого уравнения по вертикали, например, от дна 2 = -Н до поверхности г = ц непрерывно стратифицированного океана. В этом случае (6.7.1) принимает вид

jr\{po{u + v + w-)dz + ±\±d. + £\pudz +

+ -\pvdz + [pm]=0, (6.7.11)

-i-\pudz-{-\pvdz = Q. (6.7.12)

Если это уравнение проинтегрировать по горизонтальной области, то можно увидеть, что возмущение потенциальной энергии Р на единицу площади задается формулой

= $ $ { у Ро (0) + 5 -1 PoNh4z }dxdy. (6.7.13)

Таким образом, в Р вносят вклад два слагаемых. Первое из них, как и в (6.7.2), представляет собой вклад от перемещений на свободной поверхности, а второе (определяемое также формулами (6.7.3) и (6.7.5))-вклад от вертикальных перемещений изопикн внутри массы жидкости.

6.8. ВНУТРЕННИЕ ВОЛНЫ, ПОРОЖДАЕМЫЕ НА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ГРАНИЦЕ

Внутренние волны в атмосфере и океане могут пороледаться целым рядом механизмов. Часто пороледающая их область приблизительно горизонтальна, поэтому вертикальную компоненту скорости можно определить, по существу, на некоторой горизонтальной поверхности, а двиление вдали от пороледающей области мол<но вычислить из уравнений двил-сения. В качестве примера возьмем случай, в котором воздух или вода двилсется с равномерной горизонтальной скоростью над последовательностью протял<енных возвышенностей и долин, возвышение h которых над плоской горизонтальной поверхностью z = 0 мол\ет считаться малым. Такая топография молет быть представлена в виде суперпозиции синусоидальных волн. В этом разделе будет вычислен отклик на одну волновую компоненту. Более общие случаи молено получить из этого результата с помощью суперпозиции. (Замечание. До сих пор мы рассматривали свободные волны, порождаемые некоторым начальным возмущением. Мы возвратимся к рассмотрению свободных воли в разд. 6.10. В отличие от этого в этом и следующем разделах рассматриваются вынужденные волны, т. е. волны, вызванные непрерывным источником энергии на границе.)

Ось X выбирается так, чтобы она была перпендикулярна гребням синусоидального ряда возвышенностей, а другие оси выбираются таким образом, чтобы они были иеподвил<иы отно-

где квадратные скобки обозначают разность меледу значением соответствующей величины на поверхности и ее значением иа дне. Подставляя сюда р из (6.7.4) и используя граничные условия (5.2.8), (5.2.10) и (5.2.11) для оценки [рш], находим

5 i- Ро ( + + + { у Ро (0) 9oNh dz } +

сителыю среднего движения воздуха. Таким образом, если U компонента скорости, нормальная к гребням воздуха относительно земли, то топография в выбраннорг системе координат имеет фазовую скорость -U, т. е. задается формулой

h = hQsm[k{x-\-Ui)]. (6.8.1)

Отсюда следует, что частота со порождаемого двиления задается равенством

m = - Uk, (6.8.2)

поэтому сй/2л; - частота, с которой частицы воздуха встречают гребни. Вертикальная компонента скорости на поверхности равна компоненте скорости, которую получают частицы, обтекающие волнистости границы, при заданном горизонтальном движении, т. е.

w = Udhldx = WoQxp{i{kx- Ы)) на z = 0, (6.8.3)

Wo==Ukho. (6.8.4)

Принято считать, что когда используется комплексное выражение, то для интересующей физической величины берется действительная часть этого выражения (т. е. WoQ.os{kx - mt) в данном случае).

Когда стратификация однородна, т. е. N постоянно, соответствующим решением уравнения (6.4.12) является выражение

W = Wq ехр (i (kx + mz - 0/)), (6.8.5)

где т - положительный корень (6.6.3), который в этом случае можно записать в виде

т2 = /е2 (N - Cu2)/cu2 = {M/Uf (6.8.6)

Знак т определяется условием, что энергия распространяется от поролсдающей области, т. е. групповая скорость направлена вверх, а фазовая скорость - вниз. Суш,ествует непрерывное распространение энергии вверх со скоростью, заданной формулой (6.7.10), а именно

К-~Т / Po§/ = ikQjtlU- иЩ . (6.8.7)

Следовательно, суидествует скорость, с которой подается в атмосферу энергия на поверхности земли.

Решение (6.8.5) тем ие менее является справедливым только тогда, когда частота столкновения частиц воздуха с гребнями меньше, чем частота плавучести Л. Если со > iV, ю (6.8.6) ие