рис. 6.10. Вертикальная составляющая групповой скорости равна t/sin фcos ф и имеет максимальное значение, равное U/2, при ф = 45°.

Другая интересная величина - это плотность энергии Е, которую можно вычислить из (6.7.7), (6.8.4) и (6.8.13). Результат

1 р,МЩ

;i (6.8.14)

имеет простой вид, так как ho - амплитуда вертикального перемещения, так что {l/4)pN-hl - плотность потенциальной энергии возмущения. Е вдвое больше этой величины вследствие свойства равного распределения энергий. Как требует (6.7.9), вертикальный поток плотности энергии F равен Е, умнол<енной на вертикальную составляющую U sin ф cos ф групповой скорости. Это согласуется с (6.8.7).

6.9. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ЧАСТОТЫ ПЛАВУЧЕСТИ С ВЫСОТОЙ НА ВОЛНЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ НА ГРАНИЦЕ

Раздел 6.8 был посвящен возмущениям, полученным на горизонтальной границе, при этом рассматривался весьма частный случай среды с однородными свойствами. На практике океан и атмосфера неоднородны, и это ведет к большому разнообразию явлений, многие из которых выходят за рамки настоящей книги.

Главная неоднородность, однако, обусловлена изменениями свойств этих сред с высотой, и некоторые основные эффекты такого изменения будут рассмотрены в настоящем разделе. Основные эффекты можно показать с помощью простого случая среды с кусочно-однородными свойствами (см. [656]). Возьмем частный случай, в котором скорость U постоянна, но частота плавучести N задается следующим образом:

f /V 0<z<H,

Это ие только простой и удобный для иллюстрации случай, но иногда это и полезная аппроксимация структуры атмосферы (см., например, [746]). Эти же приемы можио применить к гораздо более общему классу волн, для которых параметр кусочно-однородный.

6.9,1. ПРЕЛОМЛЕНИЕ И ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН НА ГРАНИЦЕ РАЗРЫВА n

Здесь существуют четыре возможных вида решений, поскольку решение может быть волнообразным или эксиоиен-циальным в каждой из двух областей. Этот и следующий

подразделы ограничиваются случаем, в котором частота о) = = tjk меньше, чем оба значения Л, так что волны могут распространяться через обе среды. Внимание будет обращено прежде всего на свойства волн около поверхности раздела сред. Так как горизонтальная составляющая k волнового вектора одна и та же в обеих средах, то (6.8.6) показывает, что вертикальная составляющая т (а следовательно, и угол ср) больше в области большего N. Другими словами, волны преломляются на границе. Закон преломления

iV, созф; = Л/2СОЗф2 (6.9.2)

следует из того, что частота, заданная формулой (6.5.5), одна и та же в каждом слое. Это напоминает закон Снелла в оптике, но в данном случае ф - угол, который волновой вектор составляет с горизонталью независимо от ориентации границы (если бы граница была наклонена, ф все же был бы углом с горизонталью).

При z=H происходит не только преломление распространяющейся вверх волны, но и отражение части энергии. Соответствующие пропорции можно найти применением соответствующих условий при Z - H, а. именно, что возмущенное давление р и вертикальная скорость w непрерывны. Это условие можно выразить в виде отношения

Z = p/poW, (6.9.3)

которое должно быть одним и тем же на обеих сторонах границы. Удобно рассматривать Z как импеданс по аналогии с разд. 5.8. Для верхней среды вследствие ее неограниченности имеем решение в виде плоской волны с направленной вверх групповой скоростью. Соглаено (6.5.1) и (6.5.6), импеданс плоской волны задается формулой

Z - тпЦк-\-Р), (6.9.4)

где в этом случае = 0, а т принимает значение т, которое получается из (6.8.6) при = Л2.

Ниже z = Н решение содержит как распространяющиеся вверх, так и распространяющиеся вниз волны, и, таким образом, может быть представлено в виде

ш = Ш1 [ехр (/mi (2 - Я)) -f г ехр (- (z - Я))] ехр (/ {kx - со/)), kp = niicnpQWi [- ехр (/mi {z - Н)) +

-Ь гехр(- /ш, (2 - Я))] txp{i{kx - шО), (6.9.5)

(Оmi - ехр {im\ {z - Я)) 4- г ехр (- im\ [z - Н))

ехр (i/ni (г - Н)) -f- г ехр (- /т, (z - Н))

где коэффициент отражения г - это число, величина которого определяет отношение амплитуд волн, движущихся вверх и вниз.

Его значение получается приравниванием двух выран<еиий (6.9.4) и (6.9.5) для Z. Это дает

г = (т, - m2)l{mi + т). (6.9.6)

Если г = О, то решение ниже z = Н является чисто бегущей волной, тогда как при 1/=1 оно представляется в виде стоячей волны.

Поведение амплитуды скорости иил<е z~ Н представляет интерес, так как она осциллирует между экстремальными значениями, которые она принимает в точках, разделенных интервалами, равными четверти длины волны, л/{2т\) (как следует из (6.9.5)). Амплитуда ниже z = H при Н - z, равном четному числу п/{2т\), та же, что и при z = H; при Н - z, равном нечетному числу п/{21щ), она равна значению при z = H, умноженному на

(1 -0/(1 +/-) = mo/w,. (6.9.7)

Отсюда следует, что экстремум при z - Н является минимумом, когда Л1 < Мч. (поэтому т\ <. trii), и максимумом, когда Ai > > Л/г (следовательно, nii ~> т2). В последнем случае, следовательно, возможно наиболее эффективное порождение волн в верхней среде, зависящее от того, сколько четвертей длины волны находится нил<е уровня разрыва.

6.9.2. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ Л/ НА ВЕРТИКАЛЬНЫЕ ПОТОКИ

Чтобы вычислить, как амплитуда волны и другие величины, такие как поток энергии, зависят от условии на уровне земли, нул<но использовать условие

w = Woexp{i{kx--(iii)) при z~0.

Сравнение этого условия с (6.9.5) показывает, что wq и Wi связаны соотношением

Wq = Wi (ехр (- imH) + ехр {1гщН)). (6.9.8)

Особое внимание будет уделено вертикальному потоку плотности энергии величина не зависит от высоты, что необходимо для выполнения уравнения для энергии. (Вертикальный поток т = puw количества движения также является постоянным, он связан с f простым выражением x = FjU.) Определение (6.7.8) дает

F; = Re(pV), (6.9.9)

если р я W заданы в комплексной форме. Здесь Re означает вещественная часть , а звездочка означает комплексную