нальное exp[i(/ ;-сйО]= ехр[1/г(л; + Ш)]. Тогда (6.4.12) примет вид

+ тш == о, (6.9.19)

где т2(2) выражено через N[z) согласно (6.8.6) для случая однородной скорости и. Когда U неоднородна (стратифицированное сдвиговое течение), можно показать (см. разд. 8.9), что (6.9.19) по-прежнему имеет место, но tri{z) теперь задается формулой

т- = {NlUf -k- U~(fUldz. (6.9.20)

Условие на поверхности имеет вид (6.8.3), а условие иа бесконечности есть условие направленности излучения вверх, если решения волновые, и условие стремления к нулю в противном случае. Одна из аппроксимаций, которая очень часто используется, называется аппроксимацией Лиувилля - Грина или методом ВКБ или ВКБД (см. разд. 8.12). Она применяется, когда свойства среды изменяются достаточно медленно, т. е. когда m{z) меняется только на малую величину на расстоянии порядка 1/т. В этом приближении не происходит отражения волн, поэтому решение определяется формулой (6.8.5) на всех

высотах, причем mz заменяется на \mdz. Амплитуда Wq изменяется так, что плотность потока энергии F, направленного вверх и заданного формулой (6.8.7), не зависит от высоты; это определяет приближенное решение полностью. Закономерность, по которой различные параметры волн изменяются с высотой, следует автоматически. Например, сравнивая (6.8.11) и (6.8,14), находим выражение для плотности энергии Е:

Е = k- {М - kuT \NIUfF. (6.9.21)

Оно показывает, например, что для малых k

EN, (6.9.22)

т, е. плотность энергии наибольшая, когда частота плавучести наибольшая, и такая зависимость часто наблюдается.

Изучение воли, которые непрерывно генерируются иа границе, не будет проводиться в этой главе. Вместо этого будут рассмотрены свободно распространяющиеся волны, но при наличии таких границ, как земля, поверхность и дио моря. Будут рассмотрены тем ие менее только горизонтальные границы, поэтому решения можно считать суперпозициями волн, синусоидально изменяющихся по горизонтали. Тогда уравнение будет иметь тот же вид, что и (6.9.19), но граничные условия будут соответствовать свободным волнам, а не вынужденным.

ело. СВОБОДНЫЕ ВОЛНЫ ПРИ НАЛИЧИИ ГРАНИЦ

Изучение стратифицрхрованных жидкостей в этой главе началось с простого примера двух наложенных друг на друга слоев различной плотности, который дает хорошее приблил<ение поведения океана и стратифицированных озер. Теперь будет изучен случай непрерывно стратифицированного океана или озера. Изучение будет ограничиваться случаем, в котором дно плоское, но нельзя применять ни гидростатическое, ни длинноволновое приближение. (Длинноволновой предел рассмотрен в разд. 6.11.) Состояние равновесия, возмущения которого рассматриваются, есть состояние покоя, поэтому плотность (а следовательно, и частота плавучести) является функцией только вертикальной координаты г. Атмосфера несколько отличается от океана тем, что она не имеет определенной верхней границы, поэтому изучение волн в этой ситуации будет проведено позднее.

6.10.1. ОКЕАНИЧЕСКИР! ВОЛНОВОД

Так как в невозмущенном состоянии свойства жидкости постоянны на горизонтальных поверхностях, а границы горизонтальны, то решения возмущенных уравнений молено искать в виде

w===w{z)ехр[i{kx -{-ly - Ы)]. (6.10.1)

Уравнение для можно найти, подставляя (6.10.1) в (6.4.10), Однако если использовать приближение Буссинеска, как это сделано в данном разделе, то можно использовать уравнение (6.4.12), из которого находим

Ф1йг + ((А2 - сй2)/(о2) {k -f /2) г& = 0. (6 10.2)

Фактически это уравнение совпадает с (6.9.19) при / = 0, со == = -Uk. Для окана или озера глубиной Н условие на дне имеет вид

t&=0 при 2 = -Я. (6.10.3)

На свободной поверхности комбинация (5.2.10) и (5.2.11) дает

dpldi = QQgw при 2 = 0, (6.10.4)

откуда, используя (6.10.1) и (6.4.7), получаем

w4ri)/dz==:{k-}-P)gw при 2 = 0. (6.10.5)

Эти две границы удерлеивают волновую энергию в области конечного вертикального размера, поэтому океан можно рассматривать как волновод, который заставляет энергию распростра-

няться горизонтально. Полезно представлять себе следующую картину: внутренние волны, распространяющиеся наклонно к поверхности (или дну) океана, претерпевают отраления на верхней и нижней границах, что обеспечивает отсутствие потерь энергии из волновода, тогда как горизонтальное распространение волн ничем не лимитируется.

Для такого волновода, как океан, характерно то свойство, что решения уравнения (6.10.2), удовлетворяющие выписанным граничным условиям, существует лишь при некоторых (собственных) значениях со, каждому из которых соответствует своя мода волновода, или собственная функция, w{z). Вообще говоря, собственные функции имеют различную структуру для разных волновых чисел, но в длинноволновом пределе структура становится независимой от волнового числа. Тогда собственные функции называются нормальными модами, и они будут изучены в разд. 6.11.

Прежде чем находить решения для частного случая, найдем приближения, которые следуют из того, что разности плотностей внутри жидкости малы по сравнению с разностью плотностей сред, разделенных свободной поверхностью. Эти приблиления были введены в разд. 6.2 и 6.3. Что касается двухслойного случая, то самое большое собственное значение соо соответствует поверхностной волне, а стратификация очень слабо влияет на ее свойства. Частота соо очень велика по сравнению с Л, поэтому уравнение (6.10.2) для w имеет приблизительно тот же вид, что и уравнение (5.3.5) для р, а дисперсионное соотношение (5.3.8) для (Оо получается из граничного условия (6.10.5). Другие внутренние моды имеют со того же порядка (или меньше), что и Л/, и для них применимо приближение твердой крышки, т. е. левая часть равенства (6.10.5) мала но сравнению с правой, поэтому приблилсениое граничное условие таково:

w = 0 ири z = Q. (6.10.6)

Теперь внутренние моды можно найти, используя это при-блил<:еиие для особенно простого случая постоянного Л, который рассмотрен Рэлеем в [656]. Этот случай часто применим к лабораторным экспериментам. Уравнение (6.10.2) имеет синусоидальное решение

W = sin [m (z + Я)], (6.10.7)

где т задано дисперсионным соотношением для внутренней волны (ср. (6.8.6))

т2 = (2 + /2)(Л/2 - Сй2)/а)2, (6.1U.8)

Значения, которые мол<ет принимать т, образуют дискретное мнол<;ество в силу необходимости удовлетворить условию на поверхности. Если используется приближенное граничное уело-