денным на рис. 6.16,6. На более ранних стадиях вертикальная структура очень проста, так как содержит только одну или две моды; позднее структура содерлеит много мод и может стать совсем слолеиой, включая несколько изменений знака с высотой. Такие эффекты наблюдаются в лабораторных экспериментах, в которых возмущения генерируются извне от локализованного источника.

6,14. ПРИСПОСОБЛЕНИЕ К СОСТОЯНИЮ РАВНОВЕСИЯ В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Малые отклонения от состояния покоя для сжимаемой жидкости можно исследовать теми же методами, которые использовались до сих пор, однако возрастает сложность уравнений из-за введения дополнительных эффектов. Эффектами вязкости, диффузией и изменениями состояния (например, конденсацией) будем снова пренебрегать, поэтому потенциальная температура и влалсность (или соленость) сохраняются в движуи.1ейся частице жидкости. Тем не менее уравнение состояния другое, так как плотность сжимаемой жидкости изменяется с изменением давления. Таким образом, уравнения (6.4.2) и (6.4.3) изменяются. Первое, полученное из уравнения состояния, заменяется соответствующим вариантом уравнения (4.10.7), а именно

D9lDt = c;-Dp/Dt, (6.14.1)

где Cs - скорость звука, определяемая согласно (3.7.16). Следовательно, последнее уравнение, выражающее сохранение массы, принимает вид (4.10.10), а именно

c-2Dp/D + pV u = 0. (6.14.2)

Для малых отклонений от состояния покоя молено использовать линеаризованные варианты этих уравнений. Уравнение (6.14.1) заменяется уравнением

ар7(Э/ -f W dpjdz = (dp/dt ~ ggp),

ар7а/ - g~\Nw = с-2dpIdt, (6.14.3)

где частота плавучести (или частота Бранта--Вяйсяля) для сжимаемой жидкости определяется формулой

N = -g (Р,Г dpjdz -+- g/ol). (6.14.4)

Эквивалентность этого определения определению, данному в гл. 3 (уравнение (3.7.9)), следует из выражения

р dz ~ р др dz Q dQ dz р dz dz

210 Гл. 6. Приспособление стратифицированной по плотности жидкости Следовательно,

J #l = 4 a-+r~- (6.14.5)

Pj dz Cg dz dz

Здесь использованы определения (3.7.10), (3.7.11), (3.7.16) и

гидростатическое уравнение.

Линеаризованный вид уравнения сохранения массы (6,14.2) имеет вид

+ + + r-P ff ) = o. (б.м.б)

dx ду dz рцС- \ dt J

Как И ранее, р и \/-возмущения давления и плотности, т, е. отклонения от значений гидростатического равновесия, где для невозмущенного потока используется уравнение гидростатического равновесия (4.5.18). Полная система уравнений, определяющих движение, состоит из (6.14.3), (6.14,6) и уравнений для количества движения (6.4.4) и (6.4.5).

Уравнение энергии для возмущений получается умножением (6.4.4) на (и, и), (6.4.5) на lo, (6.14.3) на (р-р7£-1)/(р,Л/)

(6.14.6) иа р и сложением результатов. Это дает

-lM + . + .. + j-l.(p-)415 +

+ {Ри) + (Pf) + [рт) = 0. (6.14.7)

По сравнению с соответствующим уравнением (6.7.1) для случая несжимаемой жидкости изменилось выражение для суммы потенциальной и внутренней энергий. Часть этой величины, связанная с внутренним движением, теперь задается формулой

Она также называется доступной потенциальной энергией для бесконечно малого возмущения (см, разд, 7.8). Эту же величину можно выразить через перемещение h частицы жидкости. Так как Dh/Dt= W, то из (6.14.3) находим

h-=g{9~-pK)/(p,N), (6.14,9)

и поэтому

Gpo+TPo~Ч/Vs)0i/ (6.14.10)

Первый член внутри скобок связан с вертикальными перемеи1,е-ниями. Второй член может быть ненулевым и при отсутствии вертикального перемещения, так как возмунхения давления в сжимаемой среде могут быть вызваны чисто горизонтальным

движением, если оно конвергентное или дивергентное. Еще одной формой записи выражения (6.14.10) является его запись через потенциальную температуру О и концентрацию s (которая молеет означать соленость или влажность). Уравнения сохранения (4.1.8) и (4.1.9) для малых возмущений приводятся к виду

еН- Л dQJdz = 0, + h dsjdz = О, (6.14.11)

или, согласЕЮ (3,7.9), к виду

giaQ - s)-\- N41 = 0. (6.14.12)

Это уравнение можио такл<е вывести из (6.14.9). Таким образом, (6.14.10) можио также записать в виде

Л = 5 5 И Т is/Nf (аЪ - fisj -f 1 р - {р\у } dx dy dz .

(6.14.13)

Два ранее выведенных уравнения, включающие только W и р\ можно получить так же, как и в разд. 6.4. Уравнение для горизонтальной дивергенции, полученное из (6.4.4), отличается только выражением для дивергенции через w и р\ которое выводится из (6.14.6). В результате находим

д / dw g \ / , I д \ г галл \л\

(ir-i- )=(+-T)-

Это уравнение заменяет (6.4.7). Уравнение для вертикального двилеения, заменяющее (6,4.8), находится исключением р из (6.4.5) и (6.14.3). В результате получаем

dw , 1 д / др

--jpy (6.14.15)

Когда движение охватывает большой диаиазон высот, следует использовать уравнения (6.14.14) и (6.14.15) вместо (6.4.7) и (6.4.8). При таких условиях целесообразно выбрать другие зависимые переменные. Причины молено увидеть для движений, для которых члены плотности энергии в (6.14.7) не изменяются с высотой. Тогда скорость возрастает с высотой пропорционально P7. а возмущенне давления понижается пропорционально р/-. Чтобы устранить эту зависимость, нов1ле переменные (обозначаемые прописными буквами) вводятся следующим образом

{U, V, Г) = рУ-( , V, W),