230 Гл. 6. Пристсфбление стратифицированной по плотности жидкости (6.17,27)) условиям

blcl==dkjdz--KlH (6.17,35)

dbjdz, + bl2Hs = - (6.17.36)

где Се - постоянная разделения переменных, имеющая размерность скорости. Глубина, которая входит в эквивалентные уравнения мелкой воды,- это эквивалентная глубина H==cygy а не масштаб высоты Н. Если из последней пары уравнений исключить Ф, то в результате получим простое уравнение второго порядка относительно а именно

dXldz] + {{NJc,f - {V{2Hs)f) К - 0. (6.13.37)

Граничное условие (6.17,32) на поверхности земли имеет вид

Ф4.Я, = 0 при 2. = О, (6.17.38)

Решения для изотермической атмосферы легко находятся, так как уравнения в этом случае имеют постоянные коэффициенты, а Л равно N. Для случая идеального двухатомного газа, когда применима формула (6.14.22Ь), решения типа внутренних волн имеют вид

~Ф = (тЯз) sin (tnz) - cos [mz,

П 3 A (6 17.39)

Л, = COS [mz) - + -g- {niHs) j sin (тгJ,

с2 + 77(/п2 + (1/(2Я,))2), (6.17.40)

что совпадает с (6.15.3). Волновое решение Лэмба соответствует отсутствию вертикального движения, поэтому (6.17.38) удовлетворяется на всех уровнях. Это согласуется с (6.17.35) и (6,17.36) при условии, что

ф = гЯ5ехр(-Г2,), Я, = Язехр(-Г2;, Ce = Cs. (6.17.41)

Приведенные выше решения, конечно, совпадают с решениями, найденными в разд. 6.14, но отличаются по форме в новой системе координат.

6.18, УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ ВОЗМУЩЕНИЯ В ИЗОБАРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ, ПРОИНТЕГРИРОВАННОЕ ПО ВЕРТИКАЛИ

Уравнение энергии для возмущений (6.17.30) можно проинтегрировать по вертикали, как это было сделано в разд. 6.7 и 6.14. После интегрирования последний член в (6.17.30) примет вид

где скобки означают разницу между значениями на верхней и нижней границах области интегрирования. Для случая атмосферы, лежащей над плоской поверхностью и простирающейся до пулевого давления (2;* = схэ), условия (6.17.32) и (6.17.26) показывают, что этот член равен

Следовательно, проинтегрированное уравнение (6.17.30) будет иметь вид

1S 4 Р. Hh v ) + { i 9.ghl (0) + 5 1 pdz} +

+ \ рФ-и dz-i-i] 9.<v dz,=0. (6.18.1)

Так как элемент массы dM (см. (6.17.29)) задается в виде

dM - 9Qdxdydz = 9dxdydz, (6.18.2)

то кинетическая энергия возмущения К (см. (4.6.6)) задается формулой

Г = 4 5 S 5 Р. + -

где вклад от вертикального двилсеиия отсутствует вследствие гидростатического приблилеения. Для заданной моды, используя (6.17.34), находим, что это выражение сводится к выражению для мелкой воды

i == Y РеЯе $ $ (й + dx dy, (6.18.4)

если эквивалентная плотность ре определяется формулой

Pe=S (-).- (6.18.5)

Сумма внутренней и потенциальной энергий возмущения (или доступной потенциальной энергии возмущения) Л задана формулой (6.14.10). Соответствующую форму в изобарических координатах можно найти, используя (6.17.17), (6.17.28) и (6.18.2). Имеем

Раскрывая круглые скобки, полагая Njg + gc\ == - (I/Pq) dgjdz согласно (6.14.4), используя (6.17.12) и (6.17.25) и полагая Nlh - - дФ Idz согласно (6.17.27), находим

Интегрируя первый член и используя граничное условие (6.17.3S), получаем

Л = 5 Ц 1 pghl (0) + 5 4 9 N411 dz } dx dy. (6Л 8.6)

Этого и следовало ожидать, учитывая форму уравнения (6.18.1). Для заданной моды, используя (6.17.34), находим, что это выражение сводится к виду, полученному для мелкой воды

Л= (1/2) ре yfdxdy при условии, что ре удовлетворяет уравнению

8P. = gKiO)+\Nlkldx. (6.18.7)

Можно показать, что оно эквивалентно уравнению (6.18.5). Это делается вычитанием (6.17.35), умноженного на Ф, из (6.17.36), умноженного на h и интегрированием полученной разности по г с учетом граничного условия (6.17.38). Используя (6.17.34), находим, что члены, определяюплие поток, приводятся к виду, характерному для мелкой воды, т. е. к виду

J Р.ФМ 2, =РеЯер. (6.18.8)

Как и в разд. 6.14, другое выражение для Л можно найти через потенциальную температуру 6 и концентрацию s (соленость или влажность). Уравнения сохранения (4.1.8) и (4.1.9) для малых возмущений теперь сводятся к уравнениям

в + /г, dejdz = О, s + К dsjdz = О, (6.18.9)

которые имеют вид, аналогичный уравнениям (6.14.11). Однако В - возмущение от равновесного значения при том же самом давлении и не равно 0 Например, в случае волны Лэмба, для которой движение чисто горизонтально, нет изменения потенциальной температуры на любом данном уровне, поэтому 6 обращается в нуль; но так как давление изменяется, то не равно нулю.

Другое выражение, полученное из (6.18.9) с учетом (3.7.9) и (6.17.25), имеет вид

Я(ае - pVO/Л + ЛЛ = 0- (6.18.10)

Подстановка его в (6.18.6) и использование условий (6.17.28) и (6.17.22) на поверхности дают

= S И + НР- (f)- Р* )*.} г/- (б-18-и)

В случае сухого воздуха (s g= 0), который можно рассматривать как идеальный газ, а=1/60 согласно (8.7.14), а