Подстановка в (7.2.4) дает уравнение только для ц: а-п дГ - с {д-г]/дх -h дц/ду) + f=

= -fHQ {X, у, 0) = -Г\ sgn {X). (7.2.13)

7.2.2. УСТАНОВИВШЕЕСЯ РЕШЕНИЕ: ГЕОСТРОФИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ

Если процесс гравитационного приспособления приводит в конце концов к установившемуся состоянию, то это состояние долл\ио быть не зависящим от времени решением уравнения (7.2.13). Так как начальное условие не зависит от у, то молено предпололеить что и решение в любой последующий момент времени также не зависит от у, и поэтому завихренность S равна dv/dx. Далее, установившееся решение уравнения (7.2.1) и (7.2.2) в начальный момент времени доллеио давать баланс между ускорением Кориолиса (-fv, fu) и градиентом давления. Этот баланс известен как геострофическое равновесие

fu = ~g дц/ду, fv = gдц/дx (7.2.14)

и обладает тем свойством, что поток при нем направлен вдоль линий постоянного давления (т. е. вдоль изобар, что хорошо известно из карт погоды).

Установившееся решение имеет весьма специфическое свойство, состоящее в том, что любое решение, удовлетворяющее геострофическому соотношению, удовлетворяет в точности уравнению неразрывности (7.2.3), ие зависящему от времени, т. е. является бездивергеитиым:

ди/дх + dv/dy =-0. (7.2.15)

Другой способ получения этого результата состоит в использовании соотношения (7.2.15) для введения функции тока г]?:

и=~д\\/ду, v = d\\:/dx. (7.2.16)

Тогда геострофический баланс молено записать в виде

/ dx\,/dy = g dldy, f d\\)/dx = g dr\/dx, (7.2.17)

Если исключить т] из этих двух уравнений для получения уравнения относительно \р, т. е. если продифференцировать второе уравнение по у и вычесть его из первого, продифференцироваи-пого ио X, то это приведет к тривиальному утверледеиию, гласящему, что нуль равен нулю. В действительности (7.2.17) показывает, что функция тока (при подходящем выборе отсчетного значения) связана с возмущением давления формулой

М = Л = Р7р. (7.2.18)

Согласно (7.2.18), любое распределение отклоиения-цоверхиости Л (х, у) определяет функцию тока \р, удовлетворяющую всем уравнениям для установившегося состояния.

В ЭТОМ смысле уравнения установившегося состояния являются вырожденными, и сами по себе они не могут давать окончательного установившегося решения. Для этого нужна определенная дополнительная информация, которая состоит в том, что каждый элемент жидкости сохраняет свою исходную потенциальную завихренность. При этом удовлетворяется равенство (7.2.10), которое в рассматриваемом частном случае имеет вид (7.2.12). Для геострофически сбалансированного течения подстановка (7.2.14) в (7.2.6) показывает, что завихренность определяется формулой

= f-g- {дц/дх -f дфу% (7.2.19)

и равенства (7.2.9) и (7.2.10) позволяют записать уравнение (7.2.13) в стационарном виде

-с {д\1дх -f д\1ду) + f\ = -firQ {X, у, 0). (7.2.20)

Для рассматриваемого случая из него следует, что

-cdS]/dx 4- f\] = ~f ri sgn (x). (7.2.21)

Непрерывное и антисимметричное относительно х = 0 решение этого уравнения имеет вид

(7.2.22)

1 -е при х>0, чГ I 1 е/ при л; < О, где

= с =(Я)7/ (7.2.23)

есть фундаментальный масштаб длины, характеризующий поведение вращающихся жидкостей, подверл<:енных действию уравновешивающих гравитационных сил. Он называется радиусом деформации Россби, согласно названию, введенному Россби [685], или просто радиусом Россби или радиусом деформации . Знак модуля используется в (7.2.23) для того, чтобы а было положительной величиной, так как / может иметь любой знак.

Поле скоростей, связанное с решением (7.2.22), получается из геострофического уравнения (7.2.14), которое дает н==0 и

v=-{gJfa)ex9{~-\x\la). (7.2.24)

Течение направлено ие по градиенту давления, а под прямым углом к нему, т. е. вдоль линий поверхности возвышения, параллельных линиям начальных разрывов. Решение изобрал-сено на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Геострофическое равиовесиое рсшеине, соответствуюи1,ее форме адаптации к начальному состоянию, которое было состоянием покоя, а свободная поверхность имела бесконечно малое отклонение -го при д; > О и щ при X < 0. (а) Равновесный уровень свободной поверхности ц, который стремится к начальному уровню, когда х~±:оо. Единицей измерения служит радиус деформации Россби а = {gHf/f, где g --ускорение свобод1Юго падения, Я - глубина жидкости, f - удвоенная скорость вращения системы относительно вертикальной оси. (б) Соответствующее равновесное распределение скорости представляет собой струю , направленную вдоль начального разрыва свободной поверхности с максимумом скорости, равным {gjH), умноженным иа vio.

7.2.3. АНАЛИЗ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ

Уравнения для энергии двилеения вращающейся мелкой воды можио найти тем же методом, который использовался в разд. 5.7. В частности, уравнение для механической энергии получается при слолеении уравнения (7.2.1), умнолеенного на рНи, с уравнением (7.2.2), умиол<ениым иа pHv. При этой операции исключаются слагаемые с ускорением Кориолиса, так что члены, учитывающие вращение, в уравнения для энергии явно не входят. Уравнения приобретают точно такой же вид, что и аналогичные уравнения разд. 5.7. Однако решение задачи о приспособлении разительно меняется ири учете вращения, и поэтому изменения энергии в случае с Bpauj,eHHeM сильно отличаются от рассмотренных в разд. 5.7.

Рассмотрим, во-первых, потенциальную энергию возмущения. В начальный момент она бесконечна, но в отличие от случая без вращения она по-прежнему остается бесконечной и ири установлении стационарного равновесного решения (предполагается, что такое равновесие наступает). Однако измеиеиие потенциальной энергии, приходящееся па единицу длины, конечно