Решения для и и и также можно получить с помощью решений типа стоячих волн, которые вытекают из уравнений (7.2.2) и (7.2.3) при д/ду=0:

ц = sin kx cos 00/,

и = -{(uJkH) cos kx sin (at, (7.3.12)

V = - if/kH) cos kx cos Cut.

Таким образом, и и v получаются заменой sin/гл; cos со/ в (7.3.11) на соответствующее выражение из (7.3.12). В частности, выражение для и с учетом (7.3.4) имеет вид

u = 2(gr]/{nc)) (4-a ) %in0cosA;afA;, (7.3.13) о

где со определяется по формуле (7.3.4). Оказывается, что преобразование в правой части можно вычислить точно [198] и получить следующее соотноше1[не:

igno/c)Jo (/ ( - x/cf при \х\< ct, j2.U) О при \х\> ct,

где /о - функция Бесселя нулевого порядка. Это частное решение уравнения Клейна - Гордона, соответствующее точечному имнульсу при л-= О и 2f = 0 [566]. При этом ускорение du/dt имеет вид дельта-функции, возникающей вследствие бесконечно большого градиента давления, который существует в начальный момент. Решение (7.3.14) удобно для численных расчетов. Выражения для ц, v через функции Бесселя можно получить из (7.2.2) и (7.2.3). В [112] использованы выражения этого типа для начальных значений, которые рассматривал Россби.

На рис. 7.3 представлены решения для т], и, v. Их можно сравнить с решениями в случае без вращения, рассмотренными в разд. 5.6 (см. рис. 5.9, а). Если волновой фронт в случае без вращения переносил только начальный скачок, то теперь за скачком следует волновой шлейф , возникающий вследствие дисперсии. Короткие волны, из которых этот скачок состоит, перемещаются почти со скоростью с, однако более длинные волны движутся медленнее (т. е. их групповая скорость меньше) и отстают от фронта. В фиксированной точке это проявляется в том, что после прохождения волнового фронта частота обнаруживает уменьшение (т. е. время между гребнями воли увеличивается) и скоро достигает инерционной частоты /. (Это видно из (7.3.14).) Рис. 7.4,6 показывает, как меняется и со временем в точке х = а. Новое свойство, которое можно наблюдать на рнс. 7.4,6, состоит в уменьшении масштаба длины

Рис. 7.4. Скорость и как функция времени /: (а) в точке начального разрыва свободной повер.хности и (б) иа расстоянии одного радиуса Россби. На временной оси отмечены интервалы, равные где \ - инерционная частота. Решение совершает колебания с частотой, близкой к f, и эти колебания затухают как t-l при больших t.

Сразу же за волновым фронтом в точке х = ct. Это связано с тем, что выралеение в (7.3.14) приближенно равно

/2 д;2/с2 = (/ + XJC) {t ~ х/с) ~ 2/ (/ - xjc),

так что масштаб длины уменьшается обратно пропорционально-времени.

Можно также заметить, что с течением времени решение стремится к установившемуся решению из предыдущего раздела. Конкретные подробности можно рассчитать, исходя из-асимптотического поведения функции Бесселя для большого времени. Ясно также, куда уходит потенциальная энергия, которая не перешла в кинетическую энергию равновесного решения. Вол-новые фронты, движущиеся от места начального разрыва, уносят энергию с собой, так что для любой конечной области энергия теряется через ее края за счет излучения воли Пуанкаре. Это происходит до тех пор, пока в области ие останется только-энергия, связанная с установившимся геострофическим равно-вбеием.

Ро честер О

Расстояние км

20 30 40

npSGK-AU/t

Рис. 7.5. (а) Фронт (внутренней волны) Пуанкаре, наблюдавшийся в озере Онтарио вслед за штормом 9 августа 1972 г. Линии показывают глубину тер-моклина, определенную по изотерме 10°. Времена начала и конца каждого разреза показаны. Из первого разреза видно сильное опускание, вызванное прохождением шторма. Последующие разрезы показывают процесс геострофического приспособления с излучением волн Пуанкаре, (б) Результаты моделирования этого явления [726] на нелинейной двухуровневой модели. Диаграммы взяты из [726, 729] и могут быть сравнены с решением, показанным на рис. 7.3 для очень простого начального условия.

Другая информация, которую дает неустановившееся решение, касается масштаба времена процесса приспособления. В окрестности начальной точки, т. е. в пределах расстояний от нее порядка радиуса Россби, временной масштаб равен f-, т. е. равен масштабу времени вращения или инерционному вре-