14 м/с. Сравнение приближенной формулы (7.8.24), когда pi ==0, с точным результатом (7.8.23) для этого экстремального случая, показывает, что приближенная формула обычно дает зани-леенную оценку. Это совпадает с данными [181], гласящими, что формула малых возмущений для А в применении к реальным ситуациям дает, как правило, значение иа 5 % ниже точного.

Лоренц [483, 484] обобщил этот результат, рассматривая атмосферу, состоящую из стратифицированных вертикальных столбов воздуха, находящихся в равновесии. Если учесть всю толщину атмосферы, то из (7.8.19) и (7.8.20) находим

Р + 1== Cp\\\{p/pyQdM, (7.8.26)

dM = - g-dpdxdy (7.8.27)

трактуется как масса одного из слоев столба воздуха. При движении к состоянию минимума суммы потенциальной и внутренней энергий каледый изэитропический слой будет становиться все более плоским. Его масса dM будет сохраняться, и поэтому будет сохраняться такл<е и среднее давление р, п-ропорциональ-ное массе леидкости выше изэнтропического слоя. Поэтому если поверхность плоская, то давление на ней будет всюду равно р. Тогда из (7.8.26) получаем доступную потенциальную энергию А:

= 5 S S {(PfPT ~ (Р/РгТ) Q (7.8.28)

Лоренц принял также соглашение, что давление на любой изэнтропической поверхности, которая пересекает поверхность земли, равно давлению в точке пересечения. Он показал таклее, что для малых возмущений это приводит к формулам, полученным в разд. 6.18 с использованием изобарических координат. Это связано с тем, что в основу расчетов пололееио гидростатическое приближение. Однако Лоренц не рассматривал подробно вклада эффектов иа поверхности. Обсуждение этого вопроса можно найти в [181].

7.9. ЦИРКУЛЯЦИЯ И ЗАВИХРЕННОСТЬ

Изучение процесса приспособления к равновесию в разд. 7.2 показало валеность понятия потенциальной завихренности , которое основывается на свойствах, присущих завихренности жидкости

ё = (е, г1, s) (7.9.1)

(современное название этой величины было введено Лэмбом 1[428] в четвертом издании его Гидродинамики ), которая

определяется как вихрь скорости, т. е.

с, V . f dw dv ди dw dv du\ /гг n o\

Этот раздел посвящен понятию завихренности и его связи с циркуляцией.

Завихренность можно определить различными способами, связывая ее с локальной скоростью вращения жидкого элемента. (В [790, гл. 3] этот вопрос изложен подробно и приведена историческая библиография.) Для определения завихренности необходима информация об относительном движении расположенных рядом жидких частиц. Если обозначить эти частицы через А и В, а относительное перемещение через бх = = ха - хв, то скорость изменения этого расстояния будет равна

D {6x)IDi == DxA/Di - Oxb/DI = - ub == бц. (7.9.3)

Теперь изменение бу любой величины у для перемещения бх имеет вид

бу = бхду/дх -f бу ду/ду + 6z dy/dz = (бх V) у, (7.9.4) и так как это имеет место для каждой компоненты бх, то

6u = (6x-V)u, (7.9.5)

где бх-V - оператор, определенный равенством (7.9.4). Комбинируя теперь (7.9.3) и (7.9.5), находим

Z)(6x)/D/ = (6x-V)u. (7.9.6)

Удобно использовать другое выражение для правой части:

D{6x)/Di = VG-]-~X6x, (7.9.7)

обозначает градиент вдоль бх, а производные от скорости считаются постоянными. Равенство правых частей (7.9.6) и (7.9.7) легко подтверждается покомпонентными вычислениями, например в проекции на ось х:

du е. . du г. , du с.

dx ду dz

1 dg I 1 7 ди dw \ . } (dv ди \ .

2 д (бх) ~ 2 К dz дх ) 2 К дх ду )

Таким образом, движение в окрестности жидкой частицы можно всегда разложить иа две части, каждая из которых соответствует одному из членов правой части (7.9.7). Вторая часть представляет собой (см. (4.5.2)) чистое вращение с угловой скоростью /2, что объясняет, почему %/2 отоледествляется с локальной скоростью вращения лсидких элементов. В старых работах для этой величины использовались такие названия, как угловая скорость или вращательная скорость . Движение, соответствующее члену (1/2)УйО, получается вследствие того факта, что изолинии G являются эллипсоидальными поверхно-, стями, так что движение, связанное с этим членом, нормально к этим поверхностям. В частности, движение вдоль осей эллипсоида линейно, а поверхность, которая в начальный момент была сферической, будет искривляться по этим осям и становиться эллипсоидальной. Это двилеение называется двилееиием чисто деформационным. Таким образом, равенство (7.9.7) показывает, что двилеение в окрестности леидкой частицы можно всегда представить как сумму деформационного движения и чистого вращения. Более подробное обсуледение имеется, например, в [47, разд. 2.3].

Далее, завихренность % присутствует в вал<ной формуле для ускорения жидкого элемента, которую получил Лагранж [425]. Эта формула имеет вид

Du/D/ = dujdt -f g X u + V (u2/2). (7.9.9)

Ее легко получить, проводя вычисления покомпонентно, например

Du ди . ди . ди , ди

Dt dt дх ду dz

, ди , dv , dw ( dv ди\ . ( ди dw \

Можно увидеть (см. разд. 4.5), что эта формула предвосхищает результат Кориолиса [138] для компонент ускорения относительно системы отсчета, вращающейся вместе с жидкостью.

Хотя величина уже появлялась в ранних работах, в которых еще только выводились уравнения механики жидкости, но прошло более ста лет, прежде чем Гельмгольц в 1858 г. [316] вывел из этих уравнений ряд важнейших свойств жидкости, связанных с понятием завихренности, которые и придали ей столь фундаментальное значение в механике жидкости. Само уравнение для вихря следует из тождества

V X Du/Di = Dt,fDi - (S V) u + ? (V . u), (7.9.10)