которое получается из (7.9.9) покомпонентным вычислением, например, величины

i-(lf+? --)-i-(4f+i-

ди I dv дх ду

И использованием тождества

V е дЦдх + дфу + дЦдг 0. (7.9.11)

следующего из определения (7.9.2). Другая форма выражения (7.9.10) получается при его комбинировании с уравнением сохранения массы (4.2.3):

ivx(i)-(fv)u. (7.9.12)

Затем для подстановки Dn/Dt в (7.9.12) используются уравнения динамики. Результат зависит от предположений, сделанных относительно жидкости. В частности, результаты Гельм-гольца [316] относятся к случаю однородной невязкой жидкости, рассматриваемой в неподвижной системе отсчета. В этом случае Du/Dt есть градиент от скалярной величины -Ф - р/р, и вихрь обращается в нуль. Следовательно, (7.9.12) упрощается следующим образом:

Так как р постоянна, то множитель р можно удалить из обеих частей (7.9.13). Результаты Гельмгольца можно применить также для неоднородной жидкости, если давление является функцией только от плотности. В этом случае Du/Dt по-прежнему

является градиентом скалярной величины - Ф - J £р/р, левая

часть (7.9.12) обращается в нуль и равенство (7.9.13) также имеет место. Поскольку для такой жидкости поверхность постоянного давления автоматически совпадает с поверхностью постоянной плотности, то ее иногда называют (ср. разд. 6.2) автобаротропной жидкостью. Примером может служить идеальная изэнтропическая 2Кидкость (т. е. жидкость с одинаковой потенциальной температурой 0) с постоянным составом s. При этом соотношения (4.10.8) и (4.10.9) обеспечивают постоянство этих величин, н, следовательно, уравнение состояния (4.10.5) выражает лишь только то, что плотность зависит только от давления.

Выводы Гельмгольца следуют из уравнения (7.9.13), так как оно имеет ту же форму, что и уравнение (7.9.6), для объекта, который молено назвать линейным материальным элементом бх. Из него следует, что материальный линейный элемент, параллельный в начальный момент вектору завихренности I, будет совпадать с ним по направлению и в последующие времена. Гельмгольц выразил эту идею, введя понятие вихревой нити, т. е. такой состоящей из материальных частиц линии, что касательная к ней в каждой точке направлена вдоль завихренности. Так как каледый сегмент нити остается материальным линейным элементом, то отсюда следует положение Гельмгольца о сохранении вихревой нити.

Новый результат следует из введения величины %, которая меняется вдоль нити таким образом, что расстояние между соседними точками нити выражается формулой

бх==р-1ёбзс. (7.9.14)

Другими словами, % есть интеграл от р/5 вдоль вихревой нити. Подстановка этого выражения в (7.9.6) дает

l(f x) = axl(f)+f( x) = 6x(.v)u.

или с учетом (7.9.13)

D(6x)/Z)/ = 0. (7.9.16)

Иначе говоря, бх (и, следовательно, постоянна для фиксированной частицы. Результат Гельмгольца можно выразить и так: величина /р меняется пропорционально изменению длины локального сегмента вихревой нити.

Имеется тесно связанный с предыдущим способ выражения таких свойств жидкости через циркуляцию С, введенную Кельвином [777]. Циркуляция определяется через криволинейный интеграл вдоль замкнутой кривой

C=u-ds = (udx + vdtj-{-wdz). (7.9.16)

Рис. 7.12, а иллюстрирует смысл этого выралееиия, а иа рис. 7.12,6 показаны вклады в завихренность в частном случае прямоугольного контура, для которого связь между циркуляцией и завихренностью очевидна. В общем случае связь устанавливается с помощью теоремы Стокса:

C = (u-c/s= 55vXu-rfS = 5SS, (7.9.17)

где двойной интеграл можно вычислять по любой поверхности, периметром которой является контур, для которого рассчитывается циркуляция, а dS обозначает элемент площади, т. е. он

имеет величину, равную площади элемента поверхности, и направление, нормальное к ней. Это уравнение позволяет также интерпретировать завихренность как циркуляцию через единичную площадку.

Результат Кельвина справедлив для материального контура, т. е. замкнутой кривой, которая всегда состоит из одних и тех же жидких частиц. (Можно найти результаты и для других кон-

Рис. 7.12. (а) Вклад в циркуляцию от малого элемента 6s материального контура определяется как u-6s = w6scos ot, где u - скорость жидкости в рассматриваемой точке, 6s - вектор, имеющий длину bs и направленный вдоль контура, а - угол между векторами и и 6s. В декартовых координатах и = [и, V, w), 6s = (бх, Ьу, Ьг), а u-Ss == иЬх + и б г/4- шбг. (б) Вычисление циркуляции для малого прямоугольного контура. Стрелки показывают направление обхода контура и, следовательно, направление 6s. В этом случае циркуляция равна компоненте вихря С= dfdx - ди/ду, нормальной к плоскости контура, умноженной на площадь 8х бу, ограниченную контуром. Обобщение этого результата на произвольный контур получается путем деления контура на большое число бесконечно малых частей, для каждой из которых справедлив указанный результат. Поэтому в общем случае циркуляция равна S <S, где

dS - вектор, величина которого равна площади бесконечно малого элемента поверхности, направленного по нормали к этому элементу. Интервал можно вычислить по любой поверхности, периметром которой является этот контур.

туров, но они не так интересны.) Скорость изменения вклада и-6s малого элемента контура имеет вид

{и бхV бу -i- ZV 6z)

= -~бх + бу Н- бг и би -\~ V 6v W 6w.

Отсюда следует, что для любого сегмента контура

DC , с Du

ds +

1 9

где последний член представляет собой разность значений в конечных точках. Для замкнутой кривой он обращается в нуль, и