МЫ получаем тождество Кельвина D

(7.9.18)

Теперь молено использовать динамические уравнения для подстановки сюда выралеения Du/Dt, и результаты будут зависеть от предпололееиий, сделанных относительно леидкости. Кельвин рассмотрел частный случай однородной невязкой жидкости, для которой Du/Dt есть градиент скалярной величины -Ф - р/р. Для любого сегмента контура имеем

(+Ф)..}=

где правая часть есть разность значений величины Ф + р/р в двух конечных точках сегмента. Она обращается в нуль для

Рис. 7.13. Вихревая трубка, составлен- KoHmti

ыая из вихревых нитей, проходящих через заданный материалыий коитур. На рисунке показан элемент этой трубки малой длины Ы, имеющий малую площадь 65 поперечного сечения.

Поток /is через любое сечение

трубки постоянен, так как дивергенция от равна нулю согласно определению, и, следовательно, циркуляция С через любой контур, охватывающий трубку, имеет постоянное значение. В рассматриваемом случае, когда площадь поперечного сечения мала, С == = ф5 с точностью до величин первого порядка малости. В однородной

жидкости вихревые нити являютсяматериальиыми линиями, так что сегмент вихревой трубки двил<ется какматерпальный объем, сохраняя свою массу бЛ1 = рб56/. Поэтому С/бМ == = /рй есть постоянная величина, т. е. во время двилсения С/р меияетсяпропорционалыю длине б/ сегмента вихревой трубки

замкнутого контура, так что соотношение (7.9.18) дает теорему Кельвина о циркуляции, а именно что циркуляция однородной невязкой жидкости, взятая по материальному контуру, постоянна. Как показано выше, Du/Dt для автобаротропной леидкости является таклее градиентом скалярной величины, так что результат Кельвина применим и к этому случаю.

Другим полезным понятием является так называемая вихревая трубка, т. е. трубка, образованная вихревыми нитями,

Проходящими через точки заданного материального контура. На рис. 7.13 показан сегмент такой трубки. Так как, согласно (7.9.11), дивергенция от % равна нулю, то равен нулю и поток

dS из любого объема (см. разд. 4.6). Поскольку поток че-

рез боковые стороны вихревой трубки равен нулю, то потоки через два конца сегмента вихревой трубки должны быть равны между собой. Следовательно, согласно (7.9.17), циркуляция по любому контуру вихревой трубки равна циркуляции по любому другому контуру на ней, так что циркуляции вихревой трубки можно приписать единственное значение.

Далее, так как сегмент вихревой трубки является материальным сегментом, то его масса dM - pdSdl будет оставаться постоянной (здесь / - длина, dS - площадь поперечного сечения сегмента трубки). Однако и циркуляция C = t,dS также постоянна. Поэтому отношение

C/dM=-t/pdl=l/dx (7.9.19)

также будет постоянно, что снова воспроизводит результат Гельмгольца. Отсюда следует, что величина %, определенная согласно (7.9.14), является отношением массы сегмента вихревой трубки к его циркуляции.

7.10. СОХРАНЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЗАВИХРЕННОСТИ ДЛЯ МЕЛКОГО ОДНОРОДНОГО СЛОЯ

Ключевым фактором в решении задачи Россби о приспособлении являлось сведение системы уравнений к одному уравнению, а именно к уравнению (7.2.8), которое могло быть сразу же проинтегрировано. В результате начальное состояние системы связывалось с любьм последующим ее состоянием. Консервативная величина была названа потенциальной завихренностью возмущения. В действительности, закон сохранения является более общим, чем в частном случае малых возмущений; его мы и будем теперь рассматривать. Хотя результат можно получить непосредственно из результатов разд. 7.9, однако полезно повторить преобразования для более простого случая движения мелкой однородной жидкости.

Как было показано в разд. 5.6, гидростатическое уравнение (которое применимо к движению мелкой воды, т. е. к движению, в котором горизонтальный масштаб велик по сравнению с глубиной) приводит к тому, что возмущенное движение не зависит от глубины. Поэтому скорость также не будет зависеть от глубины, если она от нее не зависела в начальный момент. Предполагая такую независимость, находим, что уравнения количества

движения (4.10.2) для мелкой воды примут вид ди . ди , ди г дц

dt дх ду дх

dv , ди , dv , р дц (7.10.1)

Эйлер [202], выводя в 1755 г. уравнения движения, заметил полезность исключения давления (т. е. ц) из этих уравнений путем применения к ним операции вихря. Однако наибольшую пользу от этой операции можио получить, проделав некоторые преобразования членов, характеризующих ускорения. Их выполнил Лагранле [425], записав выралеение (7.9.9). Применяя (7.9.9) к (7.10.1), находим

du/di - (f + О = - дВ/дх.

dv/dt -f (/ + О w == - дВ/ду, (7.10.2)

где - вертикальный компонент относительной завихренности, определенный соотношением (7.2.6), а В - функция Бернулли (см. разд. 4.8):

B=gr] + ~(u-v). (7.10.3)

Член f ~{-£; в (7.10.2) есть абсолютная завихренность, т. е. завихренность в неподвижной системе отсчета. Из (4.5.2) следует, что

Uf =u-l-Xx, (7.10.4)

где Q - угловая скорость - это вертикально направленный вектор, модуль которого равен f/2, а х - радиус-вектор точки относительно вращающейся системы. Индекс f указывает иа величины, вычисляемые в неподвижной системе отсчета. Можно показать, что из (7.10.4) следует

dvf/dxi - дщ/dyf = f 4- (7,10.5)

Этот результат следует также из того, что /2 есть локальная скорость вращения жидких элементов. Значение относительно неподвижной системы отсчета будет суммой вектора вращения системы отсчета и вектора вращения жидкого элемента относительно враиающейся системы.

Уравнение для завихренности можио теперь получить, исключая В из (7.10.2):

DC/D/ {f + 0{da/dx + dv/dy) == О, (7.10.6)

или в другом виде 1

, -Ь Dt v <Эл: ду

(/+а+( + ж)=0. (7.10.7)