2. Таблица значений функции Лапласса нормального распределения

Ф (Х) = -7=-

е dz; Ф* {X) а= Ф (л;) -f 0,5

Ф {X)

Ф (х)

0,00 0,10 0,20 0.30 0.40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20

0,0000 о, 0398 0,0793 0,1179 0,1554 0,1915 0,2257 0,2580 0,2881 0,3159 0,3413 0,3643 0,3849

1,30 1,40 1,50 1.60 1.70 1,80 1.90 2,00 2.10 2,20 2.30 2,40 2,5С

0,4032 0.4192 0,4332 0,4452 0,4554 0,4641 0,4713 0,4772 0,4821 0.4861 0,4893 0.4918 0.4938

/ (х), либо, для кумулятивной диаграммы накопленных частот, функция вероятностей F (х).

При построении диаграмм число интервалов ряда частот не должно быть слишком большим. Кроме того, частоты в мелких интервалах могут вызывать незакономерные значительные колебания (пилу). При завышенной величине интервалов свойства распределения отображаются слишком грубо. При большом числе наблюдений обычно принимают 10-20 интервалов.

Для неодинаковой длины интервалов, которые удобно делать более узкими в области наибольшей плотности распределения, вместо абсолютных частот Ш/

применяют относительные частоты или частости v, = JUL.

Близость эмпирической кривой к тому или иному теоретическому закону распределения проверяют критериями согласия, а приближенно - также с помощью вероятностных бумаг.

Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения теоретическому закону наиболее часто применяют критерий Пирсона или как его иначе называют хи - квадрат (х)- Его имеет смысл применять, когда число интервалов k и опытов в них mi достаточно велико, например /л, > 5-10 [2].

Для проверки гипотезы о равенстве двух выборочных дисперсий при нормальном распределении используют критерий Фишера. Он равен отношению двух независимых оценок дисперсий sf и s, имеющих степени свободы V; и Vg.

Критерий Кохрена используют для проверки гипотезы о равенстве нескольких выборочных дисперсий при одинаковом объеме выборок.

Для проверки гипотезы о равенстве двух выборочных средних значений случайной величины, имеющей нормальный закон распределения, используют критерий Стьюдента.

Во всех случаях, если гипотеза о согласии не подтверждается, то следует либо повторить (уточнить) эксперимент, либо искать закон распределения, более подходящий для описания данных эксперимента. Подробнее о критериях согласия см. [1, 2, 7 и др.].

Вероятностные бумаги (или сетки) позволяют существенно упростить обработку статистических данных. Например, изменив соответствующим образом масштаб по оси ординат, можно получить из S-образной интегральной кривой

прямую линию. Такие графики молено использовать для распределений нормального, экспоненциального, Вейбулла и др.

Откладывая накопленные относительные частоты иа оси ординат, а значения Xi признака по интервалам - на оси абсцисс, получают серию точек. Если эти точки оказываются примерно на одной прямой, то подтверждается совпадение эксперимента с выбранным теоретическим законом его описания. В работе [5 даны примеры расчета средних значений х и квадратичных отклонений s по вероятностным бумагам нормального закона и распределения Вейбулла. Порядок подобных вычислений излсладн в соответствующих ГОСТах по прикладной статистике (ГОСТ 11.001-73, ГОСТ 11.002-73, ГОСТ 11.003-73, 11.004-74, ГОСТ 11.005-74, ГОСТ 11.006-74, ГОСТ 11.007-75, ГОСТ 11.008-75).

Доверительные вероятности. При контроле процессов или при оценке качества продукции выводы относительно генеральной совокупности принимают па основе выборочного метода. Выборочные характеристики по которым делают статистические выво.ды, называют оценками генеральных характеристик. Если контролируемый параметр имеет нормальное распределение, то иногда бывает достаточно анализировать только две характеристики выборки: х и s, которые являются оценками генеральных параметров М (X) и а. Эти оценки называют точечными. Они в значительной мере случайны и при малых выборках могут привести к существенным ошибкам.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала. Это позволяет установить точность и доверительную вероятность оценок, т. е. их достоверность.

Точность оценки по количественному признаку характеризуют величиной интервала б, который (-покрывает неизвестный параметр с заданной доверительной вероятностью у (которую иногда называют надежностью).

Практически можно принять, что количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратичное отклонение а этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое

ожидание М (X) = а по выборочной средней х.

Если случайная величина X распределена нормально, то выборочная средняя X, найденная по независимым наблюдениям, также распределена нормально [1,2] с параметрами

Х М (х) = а; а{х) = -.

При оценке необходимо, чтобы выполнялось соотношение

Вер ( 1-а< б) = Y- (7)

Вероятность осуществления неравенства (7) выражают согласно формуле (6) через табличную функцию Лапласа Ф (г):

V = Вер ( й- а К б) = 2Ф (г) = 2Ф

где 2 = - квантиль функции Ф (г) при заданном Y-Тогда точность оценки

б = г.

окончательно имеем

Вер(7-г- <а<х + г-) = 2Ф(г)=<р. V V п V п I

3. Значения / распределения Стьюдента = (У, п)

Доверительная вероятность у

0,95

0,99

0,999

Доверительная вероятность у

0,95

0.99

0,999

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,15 2,13 2,12 2,11 2,10

4,60 4,03 3,71 3,50 2,36 3,25 3,17 3,11 3,06 3,01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88

5,61 0,86 5,96 5,41 5,04 4,78 4,59 4,44 4,32 4,22 4,14 4,07 4,02 3.97 3,92

20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 120 со

Примечание, у ~ вероятность того, что t отличается от нулевого среднего в любую сторону не более чем на

при объеме выборки п.

Смысл полученного выражения таков: с доверительной вероятностью или с надежностью j можно утверждать, что доверительный интервал х±б покрывает неизвестный параметр т. Квантиль г определяют из равенства 2Ф (г) = у илиФ (г) =

== -. задаваясь у по таблице функции Лапласа (см. [абл. 2).

Если среднее квадратичное отклонение о неизвестно, ю вместо о используют его выборочную исправленную оценку s, но функцию Лапласа заменяют распределением Стьюдента, Тогда

Здесь вместо а записывают s, а вместо квантиля ~ квантиль Стьюдента iy, определяемый по табл. 3. (В отличие от Zy здесь требуется знать объем выборки п, так как ty = Z, ),

Корреляция и регрессия. Принято различать функциональные и вероятностные (стохйстические) связи между различными величинами. Традиционно применяемой в технике служит функциональная зависимость переменных х - у, когда каждому возможному значению х однозначно соответствует определенное у (например, законы Ома и Гука).

3 отличие от функциональной зависимости при вероятностной связи между двумя (или более) величинами каждой паре (или более) значений х, у соответствует вполне определенная вероятность. Степень связи между двумя величинами называют корреляцией. Корреляционную зависимость характеризуют формой и теснотой связи. Форму корреляционной связи принято описывать функцией или кривой регрессии-линейной, квадратной, показательной и т.д.

Тесноту корреляционной связи измеряют теоретическим или эмпирическим корреляционным отношением. Когда связь между случайными переменными X и Y линейна, частным случаем корреляционного отношения служит коэффициент корреляции г, который может принимать значения от -1 до При г = 1 или f = -1 наблюдается функциональная связь между X и К, а в случае / = О величины X и У независимы.

Коэффициент корреляции г оценивают по его выборочному значению г*:

Ii{x - x){y - y) (12)

в частном случае стохастическую связь называют статистической связью, когда условное математическое ожидание М (У X) одной случайной переменной является функцией другой случайной переменной. Обычно при ограниченном объеме выборок идут на упрощение и от математического ожидания переходят К условному среднему значению у {х). Зависимость между одной случайной переменной и условным средним значением другой случайной переменной называют корреляционной.

Кривой регрессии У по X называют условное среднее значение случайной переменной Y, рассматриваемой как функция от х, т. е. у (х) = f (х).

При изучении двухмерной корреляции по выборочным данным можно изобра-Вить пару случайных величин как поле корреляции или построить по этим же данным корреляционную таблицу. Этой таблицей удобно пользоваться при вычислении коэффициентов корреляции и параметров уравнения регрессии [I, 2].

Обычно линейная регрессия имеет вид

= (л:) = а+ Ьх= а+г -х,

где а и 6 - коэффициенты (параметры) регрессии.

Параметры в уравнении регрессии определяют по способу наименьших квадратов. При этом ищут такую прямую линию, сумма квадратов отклонений измеренных значений у от которой была бы минимальной.

Регрессионный анализ заключается в оценке распределения одной из случайных величин, например Y, при заданных значениях другой величины X (или нескольких величин Xi, Х Xfe). Его используют для установления связи между двумя величинами в экспериментах, где одну из величин рассматривают как неслучайную и ее значения задают заранее при планировании экспериментов. Примером такого эксперимента служит установление связи между величиной дефектности X и прочностью изделий Y. Дефектность здесь рассматриваем как неслучайную величину. Исследуемая прочность есть случайная величина, а зависимость у - X представляет регрессию.

Опуская промежуточные рассуждения и формулы, приведем программу (алгоритм для ЭВМ) расчета характеристик корреляционных связей и параметров линейной регрессии.

Исходные данные:

1 -2

1. Вычисляют

Sx. s. Лх\ S. S/i

n

2. Определяют

коэффициент корреляций

SxSy *

где ковариация

среднеквадратичные отклонения sx (или Sy)-

2 х-ШЛ

коэффипненты уравнения регрессии у-а-\-Ьх, а= у - Ьх; Ь стандартное отклонение линии регрессии

ух = S,y к I - /-3 .

По результатам расчета строим прямую регрессии, определяем границы ьу, наносим точки х, у и делаем вывод о виде и силе связи Y (А).

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И СТАТИСТИЧЕСКОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ КАЧЕСТВА

Статистический анализ и регулирование качества должны обеспечить четкую обратную связь от контроля к технологии по трем направлениям (каналам)- техническому, экономическому и психологическому. Организация технического канала должна быть оперативной, а документация простой и понятной как сварщикам, так и контролерам. Примеры форм КУ-1 и КСР-1 даны в работах [4-6, 8, 10]. На всех ступенях производства от рабочего места до головного отраслевого института документация должна отражать изменение технологии, причины брака и пути его уменьшения до разумного уровня.

Экономическая обратная связь должна обеспечивать ясную и логичную систему персональных доплат за качество, например доплату за балльность и т. п. Психологически производитель должен быть всегда готов к контролю его работы, поэтому контроль должен быть либо сплошным, либо выборочным - случайным.

Показатели качества сварки целесообразно использовать в двух видах: как альтернативные (да-нет) и как количественные (измеримые). Альтернативные

показатели - это обычно доля брака Б =

или доля дефектны:: ьлементов

Их вычисляют, исходя из числа бракованных п или дефектных Пд

элементов в выборке из п единиц продукции - стыков или участков шва.

Показатель доли брака Б удобен для укрупненной оценки продукции на производственном участке и в отрасли. Однако анализ 11ричин дефектов по альтернативным показателям Б и q совершенно не эффективен, поскольку, не зная вилы и другие характеристики дефектов, нельзя выяснить причины их появления.

Для количественной оценки засоренности стыков дефектами более целесообразны показатели, отражающие размеры, число, виды дефектов (трещины, поры и т, п.) и их тип (компактные, удлиненные и др.) в контролируемо.м элементе (табл. 4).

Сравнительно просты показатели среднего числа несплошностей т в стыках и средней их протяженности / отдельно для всех обнаруженных тд, /д или для

недопустимых т , 1 дефектов. Структурные показатели т , 1 дефект-

ности стыков комплексно отражают отдельные значения, а также среднее число

или протяженность на один стык дефектов разных видов. Эти показатели целесо-образгю записывать пак перечень или сумму цифр, взятых в определенной последовательности, например П-Ш-Н, соответственно видам дефектов: поры, шлаки, непровары и т. п.

При сравнении разных нормативных документов наиболее эффективен показатель эквивалентной дефектности. Однако этот показатель сложен из-за нсобходилюсти подсчета площадей всех дефектов и некоторой неопределенности коэффициентов pi приведения разных видов несплошностей к порам (исходному дефекту).

В приведенном примере (табл. 4) значения рассчитаны отдельно по все.м обнаруженным несплошностям д и по недопустимым дефектам g. Причем шлаки и непровары приняты соответственно в 2 и 8 раз более опасными чеи поры: рш= 2; рн=-- 8 [4].

4. Показатели качества сварки и числовой пример [8]

Альтерпатибные покасилпггли: число или доля дефектных (бракованных) элементов

1. Средняя доля браки

2. Средняя доля элементов с несплошностями

g = 59 стыков с недопустимыми дефектами;

д = 210 стыков с любыми дефектами;

210 717

8,2% = 29%

Количественные показатели: дефектность ь контролируемых элементах (стыках)

3. Среднее число дефектов на стык тд,

4. Средняя протяженность дефектов на стык

5. Структура дефектности в стыках. Средние количества т и длины /записаны в последовательности поры - шлаки - непровары

6. Эквивалентная дефектность g3=2j S/Pf

дефектность по

данному виду дефектов *

По общему числу дефек-тов Шп ~ -тт = 1>35 шт.

4371

на стык, *д--

6,1 мм на стык,

717 7,

По недопустимым дефек-- 201

0,28 шт.

там = на стык.

1281

Б тГГ 1.8 мм на стык,

= 4:-. 5.0

0,8 -f 0,5 + 0,05 ~ 0,2 -f 0.06 + 0.02

1,0 + 1,3 + 2,0

0,4 + 0,22 + 0,7 1,32 (0,8-1) -f (0,5.1) 2 -f (0,05 2) 8

135 0.28

2,6 1000

0.26 %;

(0,20,4) -f (0.06-0,2) 2-f (0,28-1,3) 8

1000

= 0,130/ ; 4

Примечание. Для труб диаметром 80 мм и толщиной стенок ~4 мм принято расчетное сечение Sp < 1000 мм. Пример дан для радиационного контроля по сумме выборок л = 717 стыков из базовой совокупности N oi 21 ООО стыков технологических трубопроводов диаметром бУ-ЮЗ мм. Сварка ручная дуговая. В стыках обнаружено 997 дефектов, из которых 201 недопустимые. Остальные характеристики дефектности ясны из примера.