Главная  Расчет круглых валов 

[ 1 ] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200

Расчет круглых валов основан на гипотезе плоских сечений, в соответствии с которой при действии внешних моментов каждое поперечное сечение поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое (рис. 8.2.1). Относительный угол закручивания сечения ( угол, приходящийся на единицу длины стержня)

e = M,p/(G/p),

где Мр - крутящий момент, действующий в сечении; G - модуль сдвига; GJp - жесткость стержня при кручении; /р - полярный момент инерции поперечного сечения.


Рис. 8.2.1. Схема кручения стержня круглого поперечного сечения



СТЕРЖЕНЬ НЕКРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Взаимный угол поворота концевых сечений стержня

касательные напряжения действуют и в продольных сечениях стержня (рис. 8.2.3).

ф = -

GJ О Р

где / - длина стержня.

Для постоянного по длине стержня крутящего момента

в поперечном сечении с внешним радиусом R действуют только касательные напряжения, распределенные вдоль радиуса по линейному закону (рис. 8.2.2),

т = МрГ / /р при О г < .


Рис. 8.2.2. Эпюра касательных напряжений при кручении стержня круглого поперечного сечения

В точках, наиболее удаленных от оси, имеют место наибольшие значения


Рис. 8.2.3. Эпюра касательных напряжений в точках стержня круглого поперечного сечения при кручении

Напряженное состояние в произвольной точке закручиваемого стержня в осях xyz (рис. 8.2.3) характеризуется следующими компонентами тензора напряжений iGj = Су = = ixy =

Полярный момент сопротивления= JjR.

Для стержня сплошного кругового сечения диаметром D.

Ъ2 16

а кольцевого сечения с внутренним диаметром d

0,2/)

Касательные напряжения в каждой точке поперечного сечения направлены перпендикулярно к радиусу. Из условия парности касательных напряжений следует, что такие же

Рис. 8.2.4. Расположение площадок главных напряжений при кручении стержня круглого поперечного сечения

Итак, при кручении круглого стержня возникает плоское напряженное состояние чистого сдвига. Главные площадки повернуты в плоскости сдвига по отношению к выбранным площадкам на 45 и главные напряжения (растягивающие и сжимающие) на них равны по модулю т (рис. 8.2.4).

8.2.2. стержень некруглого поперечного сечения

Определение напряжений и перемещений в стержне некруглого поперечного сечения значительно сложнее, чем в стержне круглого сечения. Гипотеза плоских сечений в общем случае решения оказывается неприемлемой, поскольку в результате кручения поперечное сечение заметно искривляется (рис.8.2.5), появляются перемещения (депланации), перпендикулярные к плоскости поперечного сечения. В связи с этим при определении перемещений необходимо учиты-



вать не только взаимный поворот сечений, но и местный перекос, вызванный искривлением сечения.


Рис. 8.2.5. Депл

[я некруглого поперечного сечения стержня

В системе координат xyz (рис. 8.2.6.) отличными от нуля оказываются касательные напряжения т и , все остальные компоненты тензора напряжений равны нулю.


Рис. 8.2.6. Система координат для закручивания стержня

Для отыскания указанных касательных -напряжений вводят функцию напряжений Ф(х, >),зависящую только от координат х у, -функцию Працдгля. Эта функция аналогична функции напряжений в плоской задаче. Напряжения

(8.2.1)

При таком способе решения уравнение равновесия

дх ду

удовлетворяется тождественно.

Функцию Ф определяют из уравнения

дФ дФ

= -2се.

дх ду -

На боковой поверхности стержня она должна удовлетворять условию

Ф=с при с = const

(8.2.2)

Если поперечное сечение представляет собой односвязную область (внутренние полости отсутствуют), то граничное условие (8.2.2) имеет вид Ф=0. Если поперечное сечение является многосвязным (рис. 8.2.7), функция Ф является постоянной для каждого контура Г/: Ф=с/ (/=0,1,2,... /w). Из всех постоянных с/ произвольно можно выбрать только одну константу, например Со=0. Остальные константы определяют из соотношений

г дФ

I-ds = -20QCi г/

где дФ/дп - производная по нормали к рассматриваемому контуру; О/ - площадь области, ограниченной контуром Г/.


Рис. 8.2.7. Поперечное сечение стерзкня в виде многосвязной области

Крутящий момент

Мр=2фЛ4+2;ф,П,. (8.2.3) л =1

Для стержня, поперечное сечение которого является односвязной областью,

: 2jфdA.

(8.2.4)

Интегралы в соотношениях (8.2.3) и (8.2.4) берутся по площади поперечного сечения.

Максимальные касательные напряжения, представляющие собой геометрическую сумму напряжений xz и х, = /JV .

Момент сопротивления при кручении Wp (м) зависит от размеров и форм поперечного сечения.

В табл. 8.2.2 приведены выражения для определения моментов Wp и максимальных



[ 1 ] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200

© 2011 - 2020 www.taginvest.ru
Копирование материалов запрещено