,(0)

ДР (р = ОД);

Пример. Определение npnpameHHHjiarpy-зок АР и А (см. рис. 8.5.1), считая Ряд мертвыми , т.е.

Так как ij = урр > после подстанов-Р=1

ки выражения для ij в выражения для Рид и преобразования при малых углах

Ovv>

Ov = X:x/vy У=1

Aq = ДР = Ch.

(8.5.31)

Элементы матриц:

c =0, =-2gxjhj

J3) . (3) (3) hp ,i(0).

31 = 13 - 2- -x/2y>

y-1 y i

Аналогично определяют VIJo 0 H) Ajl. Для следящих сил их приращения равны нулю.

Система уравнений первого приближения (8.5.30) в виде

(8.5.32)

Аналогично можно получить уравнения второго и последующих приближений.

8.5.3. ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ СТЕРЖНЯ

Одним из возжжных вариантов численного решения уравнений (8.5.28) и (8.5.31) является использование метода начальных параметров. Решение линейного дифференциального уравнения (8.5.28) можно представить в виде

J(0)

(8.5.33)

ще К{ъ) - фундаментальная матрица решений (12x12) однородного уравнения (8.5.28);

- частное решение неоднородного уравнения. Матрица K{z) удовлетворяет однородному уравнению

K{z) + В {z)K{z) = 0. (8.5.34)

Вектор Z может быть получен двумя способами: 1) решением неоднородного уравнения (8.5.28) при нулевых начальных данных; 2) с помощью матрицы Грина, когда

= j(7(8,/i)?<>/i ((7(8,/i) = K{z)K\h)y

(8.5.35)

ще G{Zyh) - матрица Грина, если

bf = const, то G{z,h) = K(z - Л).

Матрица K{z) получается из решения однородного уравнения

при следующих начальных условиях:

(8.5.36)

ЛI=(1Д...,0)A2=(0,1,0.....0).... 2=(0,0,...,1)

Каждое из решений kj уравнения

(8.5.36) есть столбец матрицы К(8).

Полученную матрицу можно уточнить, воспользовавшись методом итераций. Из (8.5.24)

Kв) = -p>K<>Л. О

(8.5.37)

В качестве первого приближения (Л=1) берется матрица К(8), полученная методом начальных параметров. Число итераций зависит от требуемой точности А:

Akl) Лк)

100% <. A.

-(0)

Рассмотрим вектор в уравнении

(8.5.35). Представим вектор Ь в виде

Тогда

7(0) 7(0) . j(0) . у(0) 4.7(0)

(8.5.38)

Здесь

О О О

-н о

\dh;

7(0)

\-р,

b[h-zp)dh=G[&,zp)

7(0)

о о о о

b{h-z )dh = G{z,zA

Аналогично получают частные решения неоднородных уравнений первого и последующих приближений. Изложенный алгоритм численного решения линейных уравнений с последующим уточнением может быть использован и при решении нелинейных уравнений равновесия (метод последовательного нагружения).

PHC.8.S.4. Схема нагружения кругового плоского стержня следящей нагрузкой

Пример. Круговой плоский стержень (рис. 8.5.4) постоянного сечения (у4зз = 1) нагружен следящими распределенной нагрузкой iq и сосредоточенной силой Р . Уравнения нулевого приближения

Q\ - озС2 =0, 3 -ЛГз =0,

+ озСГ=-2-М-0,5);

(8.5.39)

Уравнения первого приближения:

= 62 Д з >

(0)(1) (0) (1) (0)д (0).

031 +0i А з =-Gi Д з >

= 0;

и - 0зС/2 =0,6/2 + 031 3

Рнс. 8.S.S. Линии прогабов стержня, полученные путем интегрирования уравнений в различных приближениях:

1 - нулевого приближения; 2 - нулевого и первого приближений; 3 - нулевого, первого и второго приближении

На рис. 8.5.5 показаны осевые линии стержня в нагруженном состоянии, полученные при решении уравнений. Безразмерная нагрузка 21 Чт- При принятой точности решения с учетом только первого приближения, а также с учетом первого и второго приближения практически совпадают, в то время как решение уравнений нулевого приближения дает погрешность до 40%.