напряжений имеет ввд двух прямоугольников (рис. 8.7.2,

Предельный изгабающий момент зависит от формы поперечного сечения (табл. 8.7.1). В табл. 8.7.2 приведены вьфажения предельных нагрузок некоторых балок.

8.7.2. Предельные ншрузки для балки

Расчетная схема

inniniil

\\\\\\\\\\

Предельная нагрузка

4 = 2mJi

Если при действии внешней нагрузки в стержне возникают пластические деформации, то после снятия нагрузки в нем появляются остаточные напряжения. При разгрузке материал деформируется упруго и поэтому остаточные напряжения

0 =-<Уу>

ще а и - напряжения, возникающие при

нагружений соответственно упругопластичес-кой и упругой балки; эти напряжения отвечают одной и той же нагрузке.

Пример. На балку, выполненную из идеально упругопластического материала и име-юшую прямоугольное поперечное сечение с размерами bh, действует момент

М=-по> =-obh. Опреде-

12 48

лить распределение напряжений по высоте сечения и найти остаточные напряжения, возникающие после снятия момента.

Равенство (8.7.3) имеет вид

112 2 2 f

48 3

Отсюда = Л / 4. Для упругой балки эпюра напряжений имела бы вид, представленный на рис. 8.7.2, в. После снятия нагрузки появляются остаточные напряжения, определяемые как разность этих двух эпюр напряжений (рис. 8.7.2, г).

8.7.3. напряженно-дбформированное сосгояние стержней при изгибе с одновременным растяжением или сжатием

Расчет стержней на изгаб заметно усложняется при наличии осевой силы и его целесообразно выполнять методом последовательных приближений (упругих решений). Следует отметить, что такой способ решения задачи позволяет учесть различие диаграмм при растяжении и сжатии материала стержня и различие материала слоев, входящих в поперечное сечение стержня.

Рассмотрим две формы метода упругих решений.

Метод переменных параметров упругости.

Для поперечного сечения, имеющего одну ось симметрии, в качестве координатных осей выбраны, например, главные центральные оси х,у.

Из решения упругой задачи находят первое приближение осевой деформахщи 8 и кривизны 1 оси стержня. Для точки поперечного сечения с координатой у из соотношения (8.7.1) вычисляют приближенное значение секущего модуля упругости

где 8i = 8i + яду.

Последующие приближения для величин 8 и п находят из уравнений (л > 0) ;

Причем

(п-1) пр

4 ; 0)уЛ4;

Интегралы вида E i(y)dAy

E {y)ydA вычисляют с помощью квадра-А

турных формул, ддя чего поперечное >сечение стержня разбивают по высоте на достаточно большое число горизонтальных полосок. В зависимости от применяемой квадратурной формулы подынтегральное выражение находят либо на границе полосок (например, при использовании формулы трапеций), либо в центре полосок (например, при использовании формулы прямоугольников).

Процесс последовательных приближений закончен, если соблюдается условие

a -a iCv)<A.

Метод дополнительвых ширузок. Если представить зависимость (8.7.10) в виде

а = Е\г - ©(е)], то осевая деформация 8 и

1фивизна оси балки могут быть выражены из уравнений равновесия следующим образом:

ТТЛ J J

-- [(o(s)ydA.

ЕА М

В первом приближении интегральные слагаемые считают равными нулю:

О АГ 1 =-i ЕА

1 =

В последующих приближениях ЕА 4

Для определения перемещения какой-либо точки оси стержня используют формулу Мора:

где Mj - изгибающий момент, вызванный единичной силой, приложенной по направлению искомого перемещения; - кривизна Ч)си стержня, соответствующая заданной нагрузке; / - длина стержня.

Интеграл в последнем равенстве вновь вычисляется, например, с помощью квадратурных формул, что предполагает определение ]фивизны для нескольких сечений по длине стержня.

8.7.4. предельная нагрузка

В п. 8.7.2 находили предельный момент для изгибаемой балки, при котором во всех точках поперечного сечения напряжения достигают предела текучести, в результате чего в сечении образуется пластический шарнир.

Предельная нагрузка может быть найдена путем предельного перехода из решения задачи для идеальной упругопластической системы. Иногда более простым оказывается решение, получаемое с помощью схематизированной диаграммы жесткопластического тела. В последнем случае эффективными оказываются статическая и кинематическая теоремы (см. п. 2.4.1), которые дают двустороннюю оценку предельной нагрузки.

Как известно, из рассмотрения различных статически возможных состояний находят несколько значений внешней нагрузки. Наибольшая из них ближе всего к предельной. А из рассмотрения нескольких кинематически возможных состояний определяют несколько значений нагрузки, меньшая из которых ближе к предельной нагрузке. Таким образом, статическая теорема дает оценку предельной нагрузки снизу, а кинематическая - сверху. Если оценки совпадают, то следовательно, найдена предельная нагрузка.

а \ а \ а

Рис. 8.7.3. Схема действия сил на статически неопределимую балку

Пример. Определить предельную нагрузку для балки, показанной на рис. 8.7.3. Из рассмотрения трех статически возможных состояний следуют неравенства

M,=Ra<M p M2=(2R-P)a<M

Эти соотношения ограничивают на плоскости RP треугольную область ЛВС (рис. 8.7.4, с = Mjpja). Таким образом, в соответствии со статической теоремой предельное значение силы = 5Mjpj{9d).

Рис. 8.7.4. Область допустимых значений сосредоточенных сил и реакций в балке

На рис. 8.7.5 представлены три схемы образования пластических шарниров и соответствующие им кинематически возможные состояния балки. Нагрузка, отвечающая каждому из них, определяется с помощью прин-1щпа Лагранжа:

рис. 8.7.5, а

-ЪМ+Р(щ=0, т.е. Р = ЗМр/а;

рис. 8.7.5, б -2М +ЗРсщ>=0, т.е.Р2=2М р/(За);

рис. 8.7.5, в

-1л/ рф+Раф=0, т.е. Р,=5Мр/(9а).

/ffl M p Рис. 8.7.5. Схемы образо

пластических шарниров в балке

Итак, на основании кинематической теоремы р = 5 р/ (9а). Следовательно,

оценки предельной нагрузки, определяемые двумя указанными теоремами, совпадают.

8.7.5. кручение упругопластических стержней

При кручении стержня круглого или кольцевого поперечного сечения в упругоплас-тической стадии справедлива гипотеза плоских сечений. В соответствии с ней деформация сдвига в точке, находящейся на расстоянии г от центра тяжести поперечного сечения,