Главная Расчет круглых валов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 [ 133 ] 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 При составлении исходной системы уравнений для пространственных рычажных механизмов применяют матричные, векторные, тензорные, винтовые и другие методы. Ниже представлены векторный метод, основанный на применении векторной рекуррентной формулы [5], и матричный метод, базирующийся на использовании матриц 4x4. Векторный метод позволяет не только рациональным образом составить исходную систему уравнений анализа, но и найти ее решение в аналитической форме для большинства рассматриваемых механизмов. Векторный метод. Основой векторного метода являются две векторные рекуррентные формулы (ВРФ): прямая ВРФ (2.15.3) Г = klk ~к-1к> (А: = 2,3,..., у) (2.15.1) обратная ВРФ к =к+2к+2 ~к+2+2у к+1 =-~ = ~А:+2А:+2 ~ к+2к+2 (A: = 2w-l,2w--2, ...,/) (2.15.2) где Sf = sina; = cosa (Л: = 1, 2,..., 2 + 1). Номера У и / удовлетворяют следующим условиям: для механизмов первого семейства 2<У </<2л-1; для механизмов второго семейства у =2/и-2, / = 2т; для механизмов третьего семейства у =2/и-2, / = 2/и+2. Прямая ВРФ позволяет получить последовательно орты £2 3 3 в виде их разложений по ортам базиса 10, бр Аналогичные разложения по ортам того же базиса получаются для ортов 2л-Р 2л 2л-2 2л-Р /+1 Р* помощи обратной ВРФ. Кроме формул (2.15.1) и (2.15.2) при анализе механизма используется уравнение замкнутости контура В формуле (2.15.3) под знаком суммы отсутствуют: член с номером А: = 2/и - 1 для механизмов второго семейства; члены с номерами к = 2т-1 и А: = 2/и + 1 для механизмов третьего семейства. Алгоритмы решения задачи о положениях звеньев пространственных механизмов, составленные при помощи прямой и обратной ВРФ, а также уравнения замкнутости (2.15.3) характеризуются следующими особенностями: большая часть алгоритма реализуется на векторном уровне и лишь на заключительной стадии решения происходит переход к развернутым скалярным уравнениям и формулам; удается достаточно просто исключить ряд неизвестных и для большинства одноконтурных механизмов получить одно уравнение с одним неизвестным (остальные неизвестные определяются при этом в явном виде по формулам); имеется возможность быстрого просмотра альтернативных стратегий решения задачи (с целью отбора наиболее рациональной), так как алгоритм строится на базе нескольких стандартных векторных соотношений, которые комбинируются в той или иной последовательности. Наиболее часто используемые стандартные векторные соотношения, полученные из формул (2.15.1) - (2.15.3), приведены в табл. 2.15.1. 2.15.1. Ставдартные* векторные соотношения, используемые при анализе положений пространственных механизмов При определении положений звеньев механизма первого семейства N = 6, Ny > 3, Nj =6-Ny (N = Ny -hNj - общее число неизвестных параметров; Ny и N - число соответственно угловых и линейных неизвестных параметров). В соответствии с описываемым векторным методом на начальной стадии решения задачи исключаются два неизвестных угловых параметра и получается система уравнений с четырьмя неизвестными. Пусть aj и -два неизвестных угловых параметра. При отборе углов oi2u и (где W < V ) среди Ny неизвестных угловых параметров рекомендуется придерживаться правила: разность W - V должна быть минимально возможной. Можно показать, что для 232 из 239 схем механизмов первого семейства (и - = 1, а для дру- гих семи схем (u-v) . = 2. Задача о положениях звеньев решается по обобщенному алгоритму в пять этапов (рассматривается случай, когда и - V = 1): 1. Составить выражения для ортов 2, 2 3 3 2w-P 2 -1 основании прямой ВРФ (2.15.1), а также выражения для ортов 2л-Р2л2л-22л-1-- 2m+12w+2 основании обратной ВРФ (2.15.2). 2. Составить выражения для ортов 2и 2и 2w+l используя формулы 2и = 2и-1 2w+l/*2w+l 2и = 2w-l 2w 2м+1 = 2и 2u+V (2.15.4) 3. Решить систему уравнений 2 -12w+l =2w+P (2.15.5) R=0, (2.15.6) где R = afefy относительно четырех неизвестных. Следует отметить, что неизвестные углы 2м 2w+2 входят в уравнения (2.15.5) и (2.15.6), поскольку полученные на этапах 1 и 2 выражения для ортов не содержат этих углов. 4. Определить орты 2, 2 3 3 > 2n-V 2п-1 2п Утем подстановки найденных на этапе 3 значений неизвестных параметров в выражения, полученные для этих ортов на этапах 1 и 2. 5. Найти углы СС2 и 2+2 определив их синусы и косинусы по формулам 2и = ~2w-12w 2и = 2w-22w (2.15.7) *2м+2 = ~2w+12w+2 2w+2 2w2w+2 (2.15.8) Трудность поиска решения системы уравнений (2.15.5) и (2.15.6) на этапе 3 алгоритма зависит от числа Ny неизвестных угловых параметров. Все механизмы первого семейства (всего 239 схем) по значению Ny распределяются следующим образом: Ny............ 3 4 5 6 Число схем........... 88 116 32 3 lVlexaHH3M (пример)........ ВЦЦ ВЦВЦ ВВВЦВВ 7В В случае Ny =Ъ и Nj = 3 уравнение (2Л5.5) содержит один неизвестный параметр (угловой). После его получения на этапе 3 оставшихся неизвестных линейных параметра определяются в явном виде из векторного уравнения (2.15.6), в которое эти параметры входят линейно. При Ny = 4 и Nj = 2 этап 3 алгорггма реализуется в такой последовательности: составляется уравнение (2/4x2y-i)=0, (2.15.9) не содержащие неизвестных линейных параметров 021-1 2у-1 решается система уравнений (2.15.5) и (2.15.9) относительно двух неизвестных угловых параметров; после выполнения этапа 4 определяются параметры 02/-1 2j-1 уравнений Re2j=0; R€2,2-О, (2.15.10) первое из которых содержит только один неизвестный параметр А2/--1 второе - только параметр а2у-Г ® уравнения (2.15.10) неизвестные входят линейно. В случае Ny =5 и Aj, = 1 этап 3 выполняется в таком порядке: составляются уравнения 62.2=0; Re2i=0, (2.15.11) не содержащие неизвестного линейного параметра 02/-1 решается система трех уравнений (2.15.5) и (2.15.11) относительно трех неизвестных угловых параметров; после выполнения этапа 4 алгоритма определяется параметр 2/-1 линейного уравнения Re2i.i =0. (2.15.12) При TVy = 6 и = О четыре неизвестных на этапе 3 угловых параметра определяются из системы уравнений (2.15.5) и (2.15.6). На разных этапах описанного выше алгоритма использованы стандартные векторные соотношения, приведенные в табл. 2.15.1. Следует отметить, что в случае TVy = 4, 5 и 6 при решении системы Ny -2 нелинейных уравнений относительно такого же числа неизвестных угловых параметров удается путем последовательного исключения неизвестных получить для всех механизмов первого семейства одно тригонометрическое уравнение с одним неизвестным. Это уравнение может быть преобразовано к соответствующему алгебраическому уравнению, степень которого зависит от структуры исследуемого механизма, но прежде всего от значения Ny (для наиболее сложного механизма 7В, у которого Ny = 6, степень уравнения равна 16). Для механизма ВЦЦЦ (см. рис. 2.14.1, а) Ny - 3, N = 3. В соответствии с этапом 1 обобщенного алгоритма при w = 2 и v = 3 2 = 1?о2 - 12; 2 = -02 - вз =0253 +eiC3 Ecs; (2.15.13) 3 =023-3+123 7 =01 -11; 8 =-л -л; Ч =08 +118 +л8 7 = -h +118 +118 (2.15.14) Ч =0S7 +l{<l<7 -W7) - тл D = bI +В1-В1. Если Z) < О, то механизм ВЦЦЦ не существует. Если Z) > О, то в соответствии с формулами (2.15.16) угол ag имеет два значения, которые соответствуют двум возможным вариантам сборки механизма ВЦЦЦ при данном Для каждого из вариантов сборки механизма находятся: орты е, Ej, е, Е по формулам (2.15.14); орты е, Е и Е по формулам (2.15.4) при и = 2; вектор В по формуле Щ = ае +22 +44 +66 +8о; (2.15.17) неизвестные параметры 3, 5 и fly из уравнения (2.15.6), в котором R = + +06 * 55 * 77 неизвестные угловые параметры и по формулам (2.15.7) и (2.15.8) при и = 2. При решении векторного уравнения (2.15.6) его целесообразно заменить тремя скалярными уравнениями Re=0; Re=0; R{erxe)=0, из которых 3 =-(1б№б) 7 =-(14)/(74); 5 =lh7b/h6)- 17 +187 6 =0V7 -lill +W7) + +1(17 --q87)-Уравнение (2.15.5) в данном случае имеет Bs +28+3 (2.15.15) где Bi = 2357; В2 = -sfySj - CiC2SSy; B=CCCj -SC2SCj -Cy Из уравнения (2.15.15) находится неизвестный угол ag: -ВВ ±В2л[П -B2BTBi[D h -7-7-> 8 ~-5-7-> bIb] bI+bI (2.15.18) При определении положений звеньев механизмов второго семейства N = 3, Ny =0, 1,2 или 3, Nj = Ъ-Ny. Обобщенный алгоритм решения задачи о положениях включает два этапа. 1. Составить выражения для ортов 2, 2 3> 3> 2т-2 2т-2 основании прямой ВРФ (2.15.1), а также выражения для ортов 2/1-Р 2/1 2/1-2 > 2n-V 2т 2т+\ основании обратной ВРФ (2.15.2). 2. Найти три неизвестных параметра механизма из векторного уравнения Л = О, в котором 2т-2 2п А:=1 к=2т |
© 2011 - 2024 www.taginvest.ru
Копирование материалов запрещено |