матрицей движения). Такие же названия имеют и обратные матрицы G и M j,

Исходная система уравнений анализа может быть получена из матричного уравнения замкнутости контура пространственного механизма (которое является пространственным аналогом векторного уравнения замкнутости контура плоского механизма). Матричное уравнение замкнутости конура

Н=1, (2.15.33)

Здесь

=01111222

п-1пппу

(2.15.34)

- единичная матрица.

Элементы матрицы Д полученной как произведение матриц Mqj Gj ... G , обозначим через (у, к = 1, 2, 3, 4) так, что

Н = ajj . Элементы ajj (у = 1, 2, 3; к =1,

2, 3, 4) есть функции семи переменных параметров механизма первого семейства, которые обозначим через q, Wj, Wj, 3, и,и, (q обобщенная координата механизма; Wj, ,.., - неизвестные параметры

Приравнивая элементы матрицы Н,

расположенные в трех первых ее строках, соответствующим элементам единичной матрицы /, можно составить 12 уравнений. Но только шесть из них являются взаимно независимыми, поскольку между элементами матрицы Н существуют шесть условий связи в виде равенств. В качестве независимых элементов

следует взять а, 24 34 элемента из девяти оставшихся, например 121323- результате можно получить шесть уравнений

д( 1 2 з> 4 5 б)

(2.15.35)

№ jk = 12, 13, 14, 23, 24, 34.

Уравнения (2.15.35) должны быть решены относительно шести неизвестных . Исходная система уравнений анализа в форме (2.15.35) является весьма сложной, так как

элементы Wj, ..., матрицы Н получаются в

виде громостких выражений. Заметного упрощения исходной системы можно добиться при записи матричного уравнения замкнутости контура механизма в таком виде:

(2.15.36)

2 =ппп,п-\п-\,п-1п-\,п-2

/+1,/+1/+1,/

(2.15.37)

Число / может иметь любое значение от 1 до п-1. Матрицы Нм Н2 есть матрицы перехода от системы Si к системе Sq = S, но в противоположных направлениях: первая -по одной (прямой) ветви замкнутого контура, вторая - по другой (обратной) его ветви. Элементы матриц и Н2 обозначим через bjj

I. Мож-

и сд, так что = bji J, Н2 = но так выбрать номер /, что элементы bjj будут функциями переменных q, и, ..., , а элементы - функциями переменных

/+1, .. , , где / = 2 или 3.

Приравнивая друг другу соответствующие элементы матриц и /2, можно получить шесть уравнений

(2.15.38)

где jk = 12, 13, 23, 14, 24, 34.

Система шести уравнений (2.15.38) с шестью неизвестными и, U2, ..., значительно проще ранее полученной системы (2.15.35) в смысле ее аналитического решения.

При применении метода матриц 4 х 4 к механизму ВЦЦЦ (см. рис. 2.15.1) примем i = 2. Тогда матричное уравнение (2.15.36) с учетом формул (2.15.37) имеет вид:

01111222 =4~443з132-

(2.15.39)

На основании формул (2.15.31) составляют матрицы Mqj, Gjj, а затем находят произведения соответствующих матриц, т.е. получают матрицы и /2- Элементы

bjj и матриц и Н2 имеют вид

V = (122)Д =0)(ФЗ3Ф44) где j = 1, 2, 3; А: = 1, 2, 3, 4. Приравнивая друг другу соответствующие элементы, получают 12 уравнений, шесть из которых являются независимьпли:

СфСфз -ЛфсеЛфз =Сф4Сфз -5ф4С0з5фз;

еФз = 5е45ф4Сфз +

+(5е4Сф4Сез -С045ез)5фз; C0jC02 - 5еСф22 = <43 ~ 5в4Сф45ез; Л2(сф1Сф2 - ЛРС05ф2) +/з-КР!! +ЛСф = = -/з5ф45ез -Л3СФ4 -h\

Л2(лрСф2 + СфС0Лр2) -/2Сф1.$в +ЛЛР = = -/з(с04Сф45ез +564003) + +Л3С045Ф4 -/4564;

Л21Лр2 +/201 +/i =/з(504Сф450з --С04С0з)-Лз504Лр4 -/4С04. (2.15.40)

Неизвестные углы Ф2, Ф3 и Ф4 могут быть найдены из трех первых уравнений системы (2.15.40), а неизвестные линейные параметры /2, /3 и /4 - из трех последних уравнений этой системы. При анализе механизма ВЦЦЦ векторным методом для всех шести неизвестных получены формулы (2.15.16), (2.15.7), (2.15.8), (2.15.18), позволяющие их вьгшслить непосредственно.

2.16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ЗВЕНЬЕВ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ

Для решения задачи о скоростях звеньев пространственных механизмов применим векторный метод, использованный ранее при решении задачи о положениях.

Сохраняя все обозначения, введенные в п. 2.14 и 2.15, дополнительно введем следующие обозначения: 621 и 2/; производные по времени от параметров 021 и 2/-1 (/ = 1, ..., я); Ю/ / 1 - относительная угловая

скорость звена f по отношению к звену / - 1 (/ = 1,...,/;); ©у - абсолютная угловая скорость звена /; и - скорости точек А, и звена /; v - скорость произвольной точки В, звена / (/ = 1, ..., /; - 1) .

Среди параметров а 2/ и 2/-1 имеются постоянные и переменные. Если а2/ (или 2/-l) постоянный параметр, то 6с2/ = О

(или 2/-1 2i-0 пере-

менный параметр, то а2у 0 (или 2/-1 Один из переменных параметров (f?j или а2)

есть обобщенная координата q механизма. Производная по времени от этого параметра, т.е. flj или (Х2, обозначается через q . Производные по времени от других переменных параметров (кроме производной q ) имеют определенный кинематический смысл, а именно: сх2у - относительная угловая скорость звена / по отношению к звену / - 1 (алгебраическое значение); 2/-! относительная скорость точки А, звена / по отношению к звену / - 1 (алгебраическое значение).

Все производные СХ2/ и 2/-1 исключением q , от переменных параметров механизма объединяются в общий список {v} -множество относительных скоростей звеньев. Множество {v} включает А компонентов, причем N = 6, 3 и 1 для механизмов соответственно первого, второго и третьего семейств. Среди N компонентов множества {v} имеется Ny относительных угловых скоростей (Х2у и

Nj относительных линейных скоростей 2/-Г Причем если = 6, то Ny > 3.

Пусть при данном значении q решена задача о положениях звеньев механизма в какой-либо его сборке, т.е. определены значения переменных параметров а2/ и fl2/-i механизма. При данном значении q надо найти относительные скорости звеньев, образующие введенное вьппе множество {v}. Задача решается отдельно для пространственных механизмов первого, второго и третьего семейств. После этого находятся угловые скорости Ю/ / i и

звеньев, а также скорости , Vq и

отдельных их точек.

Механизмы первого семейства. Шесть неизвестных относительных скоростей а 21 и 2/-1 входящих в множество {v}, определяются из следующей системы двух векторных уравнений :

Z°2/2/-l = 0;

п п-\

Z2/-i2/-i -Хг/

2л-2 k=2i

Все неизвестные входят в уравнения (2.16.1) линейно, так что они могут быть легко получены для всех 239 схем механизмов первого семейства.

Для механизма ВЦЦЦ (см. рис. 2.14.1, а) уравнения (2.16.1) принимают следующий вид:

21 -43 65 -87

33 55 77 +1

(2.16.2)

е. x

(2.16.3)

Неизвестными являются d, d, dg,

3, а, Qj. Первые три неизвестных определяются из первого уравнения системы (2.16.2), а три других неизвестных - из второго уравнения этой системы. После обозначения левых частей первого и второго уравнений системы (2.16.2) соответственно через Uvi V м умножения левых и правых частей первого и второго уравнений скалярно на еехе- и в, получены шесть уравнений

Ue=0; U{exe)=0;Ue =0;

=0; V{exe)=0\ Ve =0,

(2.16.4)

каждое из которых содержит по одному неизвестному: соответственно 0.,0.,0.,0,

О5, От

Из уравнений (2.16.4)

а. =а-,

8 = -а-,

3 4

(2.16.5)

3 =-(1б)/{5б);

5 =l(37)/(567); (2.16.6)

7=-(l4)/(67)-

Механизмы второго семейства. Три неизвестных относительных скорости, входящих в множество {у}, определяются из векторного уравнения

п т-\

Z 2/-12/-1 + Z2/ /=1 /=1

(Ыт)

2/П-2 -1

k=2i

/=т+1

2/-2

к=2т

= 0, (2.16.7)

в которое неизвестные входят линейно. Поэтому они могут быть легко найдены для всех 112 схем механизмов второго семейства.

Для механизма ВВСВВ (см. рис. 2.14.1, б) уравнение (2.16.7) принимает вид:

е, x

+ 44(3 хе4)-

-б{7>< б)- 10

во x yajCf I = 0.

(2.16.8)

Неизвестными являются d, dg и djQ. Уравнение (2.16.8) можно упростить:

2(2( 33 -434)+2К +44)] + +аа£ +а867 +

+ loh(79 -69)+9К +68)1 = 0.

(2.16.9)

Механизмы третьего семейства. Дифференцирование уравнения (2.15.27) по времени дает уравнение с одним неизвестным:

11 =

(2.16.10)

В зависимости от структурной схемы механизма этим неизвестным является одна из следующих величин а, а, dj, oij, ol, а.

В зависимости от значений тип все 10 схем механизмов третьего семейства можно разделить на три группы.

п.............

т.............

Число схем......

В случае а2 = 3, m = 2 (2.16.10) имеет следующий вид:

-2626

уравнение (2.16.11)

При а2 = 4, /и = 2 уравнение (2.16.10) приводится к виду: