Главная Расчет круглых валов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 [ 137 ] 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 движений, для выполнения которых проектируются механизмы, весьма разнообразны, что определяется чрезвычайно широким спектром рабочих функций механизмов. Тем не менее в большинстве случаев их можно отнести к одной из следующих трех типовых задач кинематического синтеза механизмов: 1) воспроизведение заданного движения твердотельного объекта (объектов) по отношению к неподвижной системе отсчета; 2) воспроизведение движения отдельных элементов объекта (точки, прямой и др.) по отношению к неподвижной системе отсчета; 3) согласование угловых или линейных перемещений двух или более звеньев в соответствии с заданными функциональными зависимостями. Программа движения, реализуемая посредством проектируемых механизмов, может быть задана либо непрерывно - в виде функций, описывающих требуемые изменения всех обобщенных координат объекта, либо дискретно - в виде заданной последовательности конечно-удаленных положений объекта, аппроксимирующих требуемое движение. Соответственно различают непрерывные и дискретные задачи кинематического синтеза механизмов. В ряде случаев для сведения непрерывной задачи к дис1фетной заданное непрерывное движение дис1фетизируется. В общем случае точное воспроизведение заданных движений объекта каким-либо механизмом без высших пар возможно лишь при равенстве числа его степеней свободы числу обобщенных координат объекта. Соответственно точные генераторы заданных движений с низшими кинематическими парами должны иметь несколько степеней свободы, что требует введения специальной системы управления, обеспечивающей требуемые связи между обобщенными координатами перемещаемого объекта. Однако стремление к реализации заданных движений простейшими средствами, в частности рычажными механизмами с минимальным числом звеньев и управляемых степеней свободы, приводит к аппрокси-мационной постановке задач кинематического синтеза механизмов, суть которой состоит в построении механизмов, приближенно реализующих заданную программу движения. Эти задачи в свою очередь представляются в виде классической задачи приближения функций: среди множества функций перемещения механизмов рассматриваемой структуры определить такую, которая наиболее близка к функции, описывающей заданное движение. Наиболее близка - естественно, понятие относительное, зависящее от метрики, в которой определенно расстояние (отклонение) приближающей функции от заданной. Задачи приближенного воспроизведения заданного закона движения (положение) объекта рычажными механизмами составляют предмет исследования теории приближенного (аппроксимационного) синтеза механизмов [1, 8]. Решение аппроксимационных задач кинематического синтеза механизмов выполняется в такой последовательности: 1) выбор структуры механизма - приближенного генератора заданного движения; 2) составление функции отклонения -функции, характеризующей отклонение зависимости, воспроизводимой синтезируемым механизмом, от заданной зависимости, - и выбор метода (нормы) приближения; 3) вычисление параметров функции отклонения, размеров механизма и анализ точности достигнутого приближения. В аппроксимационном синтезе механизмов наибольшее распространение получили методы равномерного (чебышевского) и квадратического приближения, исходящие соответственно из минимаксной (чебышевской) и средней квадратической норм функции отклонения. Именно эти нормы принимают за критерии аппроксимационного синтеза. Вместе с тем в практике проектирования новых устройств нередко возникают такие случаи, когда число независимых уравнений синтеза равно числу расчетных положений механизма, в связи с чем приближение переходит в интерполирование. В таких случаях принято рассматривать интерполяционный синтез механизмов, объединяющий задачи о точном воспроизведении ограниченного числа заданных положений (перемещений) объекта. Ниже рассмотрены методы решения всех трех типовых задач кинематического синтеза механизмов по единственному критерию точности воспроизведения заданного движения. Основы оптимизационного синтеза плоских рычажных механизмов при наложенных ограничениях в виде системы равенств и неравенств широко известны [5J. 3.2. СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ ДЛЯ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ ЗАДАННОГО ДВИЖЕНИЯ Точное воспроизведение плоских перемещений твердого тела. Пусть заданы конечно-удаленные положения ei (/ = 1, 2,..., N) плоскости (плоской фигуры) е на неподвижной плоскости Е и требуется синтезировать одноподвижный механизм, перемещающий е через эти положения. Механизмы для реализации заданных перемещений объекта строятся по следующему принципу. Сначала на плоскости е разыскиваются точки, которые в рассматриваемых N положениях лежат на окружности, прямой, т.е ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ ЗАДАННОГО ДВИЖЕНИЯ на любой легко механизируемой плоской кривой, или же на линии, огибающие указанные 1фивые. Затем формируются связи в виде присоединяемых к е кинематических цепей, которые вынуждают найденные точки двигаться по соответствующим им кривым, а в случае линий - огибать их. Чтобы получить одно-подвижный механизм, воспроизводящий заданные перемещения в, из образованных связей достаточно сохранить любые два, таким образом лишая е двух степеней свободы. Рассматривая различные сочетания указанных связей, взятых по две, придем к множеству вариантов механизмов, точно воспроизводящих заданные iV положений плоскости е. Для синтеза механизмов особый интерес представляют точки плоскости е с несколькими положениями на окружности или прямой, поскольку соответствующие связи реализуются посредством бинарных (двухпарных) звеньев ВВ и ПВ, а механизмы, образуемые на базе этих точек, - четырехзвенные. Из принципа построения механизмов для точного воспроизведения заданных положений (перемещений) плоскости е следует, что синтез любого из этих механизмов разбивается на локальные процедуры синтеза его составных подцепей, реализующих необходимые связи на движение е, В качестве примера рассмотрим синтез шарнирного четырехзвенника по положениям шатунной плоскости, сводящийся к синтезу двух бинарных звеньев типа ВВ. Синтезируемое звено (рис. 3.2.1) определяется пятью постоянными параметрами, в число которых входят координаты Х£,У£у центра шарнира В в системе Оху, жестко связанной с в, координаты , шарнира А в системе OXY неразрывно связанной с плоскостью Д и длина R звена АВ. Соответственно максимальное число задаваемых положений е также равна пяти. Звено АВ ограничивает движение точки В плоскости е по окружности радиусом R с центром в точке А. Соответствующее условие связи можно представить в виде (ав,-л)-Р=о (/ = 1, 2,...,N). (3.2.1) Искомые параметры синтезируемого звена должны удовлетворять следующему уравнению, вытекающему из (3.2.1): X,X+Y,Y+H = 0(x + Yi), (/ = 1, 2,...,N). (3.2.2) где Xf, Yf - координаты точки В, в системе OXY. При заданных значениях параметров положения плоскости е
Рнс. 3.2.1. Схема расчета сявтезируемого звена шарнирного четырехзвенника (3.2.3) ще Xq. , Yq, , 0/ - линейные функции от искомых подвижных координат х и уу Величина, не зависящая от положения е, Я = 0,5(2 (3.2.4) Пусть = 3. Тогда при Xf + К/ = R из (3.2.2) получается система трех линейных уравнений относительно искомых величин XiXaYiYaHOR (/ = 1, 2,3). (3.2.5) Система (3.2.5) имеет единственное решение, если ее определитель отличен от нуля. Случай Z)i23 = О рассмотрен ниже. Синтез звена ВВ при = 3 осуществляется в следующем порядке: 1) произвольно выбираются координаты Xg, точки В на 2) по формуле (3.2.3) вынисляются значения X/, 7/; 3) решением системы (3.2.5) определяются Х,У; 4) из (3.2.4) определяется R Пусть теперь задано = 4 положений плоскости е. К системе (3.2.5) прибавляется еще рдно линейное уравнение с индексом / = 4, в результате чего возникает система четырех линейных уравнений относительно трех неизвестных Х, Yy Н. Эти уравнения могут иметь общее решение, если определитель расширенной матрицы рассматриваемой системы равен нулю: А234 = / / 1 1 = 0. (/ = 1, 2, 3, 4) (3.2.6) Здесь использовано сокращенное обозначение определителя четвертого порядка, в котором строки отличаются лишь индексом положения. Так же в дальнейшем обозначены определители аналогичной формы. Подстановкой в (3.2.6) соотношения (3.2.3) после преобразования получено уравнение третьей степени относительно Xg, yg, определяющее на плоскости е геометрическое место таких точек, четыре положения которых лежат на одной окружности. Оно представляет собой циркулярную кривую третьего порядка, известную как кривая круговых точек, или кривая Бурместера [1]. Однако на практике уравнение (3.2.6) в процессе синтеза целесообразно использовать непосредственно в детер-минантной форме. Решение задачи синтеза в рассматриваемом случае (N = 4) сводится к следующему: задается одна из координат Хр и ур и уравнение (3.2.6), преобразованное тодстанов-кой соотношений (3.2.4), решается огноси-тельно другой координаты, чем и устанавливается положение точки В на плоскости е. Далее выполняются те же расчетные операции, что и в случае N = 3. При N = 5 имеем пять линейных уравнений типа (3.2.5) с теми же неизвестными XyijYyH. Для совместности этой системы необходимо, чтобы ранг ее расширенной матрицы 4x5 бьш равен трем, а это возможно лишь в том случае, если равны нулю ее любые два минора четвертого порядка. Данное условие приводит к двум уравнениям А234 = 0; А235 = 0. (3.2.7) Первое уравнение имеет выражение (3.2.6), а выражение второго уравнения отличается от (3.2.6) индексом последней строки. Уравнения (3.2.7) определяют на плоскости е две бициркулярные кривые четвертого порядка, которые могут иметь четыре, две или ни одной вещественной общей точки. Эти точки, имеющие по пять положений на одной окружности, называются точками Бурместера [1]. Для синтеза шарнирного четырехзвенника нужны по меньшей мере две точки Бурместера, координаты которых определяются численным решением системы уравнений (3.2.7). Алгоритм синтеза бинарных звеньев при известных координатах центров их подвижных шарниров тот же, что и в случае N =4. Таким образом, шарнирный четырех-звенник может воспроизвести пять заданных положений плоскости е лишь в том случае, если система (3.2.7) имеет вещественные решения. Синтез четырехзвенника кривошипно-ползунного (коромыслово-ползунного) механизма по положениям шатунной плоскости е сводится к синтезу двух бинарных звеньев типа ВВ и ВП. Процедура синтеза первого из них была рассмотрена выше. Звено ВП определяется четырьмя параметрами - координатами Хс у Ус центра шарнира С ш е - и двумя параметрами, устанавливающими положение направляющей ползуна на плоскости Е. Соответственно максимальное число положений плоскости точно воспроизводимых механизмом рассматриваемой структуры, тах =4. Синтез звена ВП требует определения точки на плоскости , рассматриваемые положения которой лежат на одной пряхмой. Если N =2у положением точки С на плоскости е можно задаться, а положение направляющей на плоскости Е определится прямой, проходящей через рассматриваемые положения Q, С2 выбранной точки С. При N = 3 необходимо найти точку на плоскости е с тремя колинеарными положениями. Геометрическое место таких точек определяется условием равенства нулю определителя системы (3.2.5), поскольку при этом центр окружности, проходящий через положения Q, С2 и С3, удаляется в бесконечность. Условие i>i23 =0 при подставновке соотношений (3.2.3) определяет на плоскости е окружность, любая точка которой имеет три колинеарных положения [1]. При N = 3 на плоскости е имеется единственная точка с четырьмя колинеарньгми |
© 2011 - 2024 www.taginvest.ru
Копирование материалов запрещено |