ствия ложных скоростей , Vj будут нс-

тнннымн. Восстановлением перпендикуляров к линиям действия этих скоростей в точках

Сз, 7з определяется мгновенный центр скоростей Рз звена 3. Зная , по известной скорости ведущей точки А и векторному отношению V = ВА определяется скорость V в точки В звена 3. По скорости v р звена 3 и известному его мгновенному центру скоростей (МЦС) Р3 устанавливаются скорости V; и \с точек R и С звена 3. Скорости

всех остальных точек механизма, включая их вспомогательные, находятся просто - путем рассмотрения соответствующих двухповодко-вых групп.

Для определения ускорений по ложным значениям угловых ускорений 85, 87 и истинным значениям угловых скоростей со 5, © 7 условно ведущих звеньев 5, 7 находятся векторы ложных ускорений Wq , wf вспомогательных точек Сз, 7з . Нормальные составляющие ложных ускорений Wq и wf являются истинными. Проектированием этих ускорений соответственно на прямые PQ и

РзТз находятся истинные нормальные ускорения Wq и w точек Оз 3 звена 3. Откуда из векторных соотношений

определяется вектор ложного ускорения

мгновенного центра скоростей Р3 звена 3.

Это ложное ускорение Wp будет истинным. По известным векторам истинных ускорений Wp топси Р и ведущей точки А и векторным соотношениям

находится вектор Wp ускорения точки В. По ускорениям Wp и Wp двух точек Р и В

звена 3 определяются ускорения шарнирных точек Си R этого звена.

Ускорения всех остальных звеньев механизмов легко получить по соответствующим двухповодковым группам. Изложенный метод вспомогательных точек и мгновенных центров скоростей справедлив для любых МВК третьего вида.

4.2.3. Анализ перемещений, скоростей и ускорений МВК со многими степенями свободы

При проектировании каждого векторного уравнения замкнутости МВК на координатные оси получается пара уравнений вида:

со8ф/=0; 8Шф;=0, (4.2.4)

где - длина /-го звена; / - индекс, значения которого пробегают все номера звеньев, входящих в рассматриваемый контур; ф/ -

угол между направлением оси /-го звена и осью абсцисс.

Дифференцированием по времени / равенства (4.2.4) с учетом ф/ = ф/(/) получено:

li Sin ф/ф; = О; cos ф;ф; = О .

(4.2.5)

Система уравнений (4.2.5) с учетом деления звеньев на входные и выходные может бьггь записана в виде:

п W

/-1 /t=l

(4.2.6)

где п - число входных звеньев механизма; ау/(ф) - элементы матрицы Якоби системы

уравнений вида (4.2.4); Ф = (фь ..., Фл) вектор угловых координат выходных звеньев механизма; w - число степеней свободы меха-

низма

у Я = {Я1у - у Яw) ~ вектор обобщенных координат.

Система уравнений (4.2.6) имеет решение относительно угловых скоростей

во всех неособых положениях

h (i = 1, п)

механизма. Особьпи называются такие положения механизма, которые удовлетворяют условию

= 0.

(4.2.7)

Решение системы (4.2.6) во всех неособых положениях

Ф1=.сц,{>я)4к (/ = 1,л), (4.2.8)

Aji (ф) - алгебраическое дополнение элемента aji матрицы Якоби /1(ф).

Система п дифференциальных уравнений первого порядка (4.2.8) ввиду гладкости функций в правых частях согласно основной теореме Коши имеет при заданных начальных условиях ф(0) = Фо единственное непрерывное

решение, которое соответствует перемещению механизма в определенной, соответствующей начальному положению сборке.

Угловые ускорения звеньев МВК в неособых положениях определяются дифференцированием (4.2.8) по времени.

4.3. АНАЛИЗ ДИНАМИКИ

4.3.1. Графоаналитическая кинетостатика МВК второго и третьего видов

Пусть на звенья механизма Ассура (рис. 4.3.1) действуют приведенные к одной равнодействующей внешние силы, включая силы

инерции , ..., Р9 . По известной линий действия уравновешивающей силы Pyi , приложенной в точке А ведущего звена, определяется ее величина с помощью метода жесткого рычага И. Е. Жуковского. Механизм под действием всех внешних сил и уравновешивающей силы Pyi находится в состоянии равновесия. Уравнения моментов сил, действующих на ведущее звено 1 и поводки 3, 5 и 7 относительно точек Д Д L,

С учетом Ri(j = -Rjic находятся составляющие сил реакций Л2> 34 > 6 78 звенья 1, 3, 5, 7 со стороны соответствующих контурных звеньев 2, 4, 6, 8.

Рис. 4.3.1. Схема действия сил на механизм Ассура

Из уравнений Mg (/9/ j = О определяются составляющие силы реакции Rg = -/?g . На пересечении линии звена ВМ с линией поводка 7 находится вспомогательная точка 5*8 контурного звена 8 и строятся остальные вспомогательные точки /5*5, /5*4, /5*2 . Из уравнений моментов

ХЛ/58(8,) = 0; YMsfiei) = 0> i i

(4.3.1)

определяются составляющие сил реакций соответственно R, R, R24, R2 3 уравнения MjFi = О следует i?29 = i

Таким образом, получены составляющие R2 2 реакций в шарнире В, по которым можно найти векгор силы реакции У?29 После этого рассматриваются двухповод-

ковые группы Ассура П (2, 1), П (4, 3), П (6, 5), П (8, 7) и определяются силы реакций во всех остальных кинематических парах механизма.

Для силового анализа МВК третьего вида на примере механизма пятого класса (см. рис. 4.2.4) определяется с помощью метода жесткого рычага Жуковского уравновешивающая сила

Ру1, приложенная в точке А ведущего звена 1.

За условно ведущее принято звено поводка 5. Тогда механизм сводится к рассмотренному выше, механизму Ассура, к которому в точке В бесповодкого звена 3 присоединена двухпо-водковая группа П (2, 1). Таким образом, силовой анализ МВК всех видов сводится к силовому анализу механизмов второго и третьего классов и механизмов Ассура.

4.3.2. Аналитическая кинетостатика МВК второго и третьего видов

При аналитическом решении задачи кинетостатики МВК координаты вспомогательных точек S, S, S4, S2 (см. рис. 4.3.1)

.определяются как координаты точек пересечения соответствующих прямых [8]. Например,

координаты Х, Y точки находятся решением следующей системы уравнений:

- S tg99 =Yb- Хв&Р9 5 Ys, -Xs.igi = YL-XLigiT.

(4.3.2)

Эта система не имеет решения в том случае, когда определитель ее

(4.3.3)

т.е. при условии параллельности прямых. При этом может бьггь два случая:

1) ранг матрицы системы (4.3.2) меньше

ранга ее расширенной матрицы - точка

уходит в бесконечность, прямые LK и ВМ параллельны;

2) ранги указанных матриц совпадают -

точка не определена, прямые LK и ВМ

совпадают.

Во втором случае следует перейти к определению координат вспомогательных точек в обратном порядке S2, S, S, S. Если

при этом какая-либо из точек также не определена, то задача силового анализа механизма группы Ассура неразрешима, так как механизм находится в особом положении.

Кроме указанных условий прерывания процесса построения вспомогательных точек могут иметь место условия вырожденности уравнений равновесия сил и моментов относительно искомых сил реакций. Так, уравнения

(4.3.1) не имеют решений относительно

46 4 Щ2 соответственно при следующих условиях (см. рис. 4.3.1):

(4.3.4)

означающих совпадение точек S, S, S4, S2

соответственно с точками /, Fy С, В. Уравнение равновесия проекций сил, действующих на звено 2, на прямую, перпендикулярную к

S2By

не имеет решения относительно i?92 , если

8ш(ф9 - ф2) = О , (4.3.5)

означающее пересечение трех прямых ВМу OA

и S4S2 в одной точке.

Таким образом, задача кинетостатики МВК второго вида не имеет аналитического решения в их особых положениях, определяемых условиями неопределенности вспомогательных точек и условиями вырожденности уравнений равновесия сил и моментов (4.3.4), (4.3.5).

4.3.3. Уравнения динамики МВК

С точки зрения динамики любой МВК без учета упругости звеньев и трения в кинематических парах можно рассматривать как голономную механическую систему с идеальными связями. Уравнения связей механизма могут бьггь получены как уравнения кинематики на основе метода замкнутых векторных контуров [12]. В уравнениях кинематики МВК вида (4.2.4) зависимые координаты не могут быть выражены в явном аналитическом виде через обобщенные координаты, поэтому уравнения движения МВК должны бьггь рассмотрены совместно с системой тригонометрических уравнений связей.

Ниже приведен метод, позволяющий получить уравнения динамики МВК в явном аналитическом виде [10], который основан на представлении уравнений голономных связей