ДВИЖЕНИЕ ЗВЕНЬЕВ

5.3. ОШИБКИ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ МЕХАНИЗМОВ

Для механизма, закон движения которого описывается конечным уравнением, ошибка положения в случае отсутствия в его схеме принципиальных ошибок может быть вычислена по формуле (5.2.6). При этом для механизмов с низшими кинематическими парами путем последовательного дифференцирования выражения (5.2.6) по времени мохуг быть найдены ошибки скорости Avj и ускорения

Avs = -Y,AAgn ; Awj = -fJnMn n л

(5.3.1)

Для механизмов с высшими кинематическими парами ошибку положения можно вычислить по формуле (5.2.6), основываясь на доказательстве [3], согласно которому при малом с\ещении элементов высшей кинематической пары по направлению нормалей к их расчетной поверхности ошибки кривизны соответствующих элементов могут принимать какие угодно конечные значения. Вместе с тем

вычисление Av и Aw для механизмов с

высшими кинематическими парами не может быть основано на использовании формул (5.3.1). Это является следствием того, чго на

величину Av существенное влияние оказывает ошибка направления касательной в точке соприкосновения реальных элементов высшей

кинематической пары, а на величины Aw -еще ошибка радиусов кривизны. Поэтому ошибки Avj и Awj для механизмов с высшими кинематическими парами мохуг быть вычислены при помощи методов, разработанных в нелинейной теории точности.

5.4. ОШИБКИ МЕХАНИЗМОВ, ДВИЖЕНИЕ ЗВЕНЬЕВ КОТОРЫХ ОПИСЫВАЕТСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

Для широкого класса механизмов положения звеньев описываются линейными дифференциальными уравнениями первого порядка. Поэтому в задачах теории точности эти механизмы занимают особое положение в первую очередь потому, что в их структуру входят гибкие навивающиеся звенья или кинематические пары качения. В подобных механизмах нормаль в точках соприкосновения элементов кинематической пары пересекает ось вращения с ведомым элементом, вследствие чего не представляется возможным воспользоваться построением преобразованного

механизма для определения передаточных отношений при первичных ошибках.

Вследствие указанной специфики этого класса механизмов основная формула расчета точности принимает вид [4, 12]:

A<pl=JAqdgy (5.4.1)

где АС/ - ошибка передаточного отношения

механизма.

Для единичной первичной ошибки выражение подынтегральной функции представлено в виде произведения

(5.4.2)

Ас/ =c(v/)Ag;(v/),

в котором первый сомножитель является частью передаточного отношения, не зависящий от первичной ошибки. В простейшем случае

при gi = const

АфЬ =Х

JAc{\)dg

Ад,. (5.4.3)

Принимая в (5.4.3) значения функции, стоящей в квадратных скобках, за соответствующие значения передаточных отношений

при ошибках Ад можно выразить

АФ1=2К2-/,1)А(7/. (5.4.4)

Формулы (5.2.6) и (5.4.4) существенно различны. Действительно, согласно (5.4.3) ошибки механизмов, положения звеньев которых описываются дифференциальными уравнениями, зависят от интервала изменения положения ведущего звена механизмов. Поэтому ошибки этого класса механизмов называются ошибками перемещения, которые обозначаются через Аф* . К характерным примерам этого класса механизмов можно отнести фрикционную и тросовую передачи.

Пример. Определить ошибку положения интегрирующего фрикционного механизма (рис. 5.4.1). Для идеального фрикционного механизма имеет место следующее соотношение:

где h - шаг ходового винта 5; г - радиус съемного ролика J; Ф2, Фз> Ф5 угловые координаты звеньев механизма соответственно 2, J, 5.

Рис. 5.4.1. Фрикционный механизм

Согласно (5.4.5) для интегрирующего фрикционного механизма за аргумент и подынтегральную функцию принимаются угловые перемещения соответственно диска 2 и ходового винта 5.

Основными ошибками являются [11, 12J: - проскальзование в паре качения 2-3; А г - средняя ошибка радиуса ролика; АЛФз) шага в паре 4-5; Apjb, Apj, обусловленные наличием зазоров (люфта) в опорах соответственно ходового винта и каретки; Аро

установки начального значения подынтегральной функции. С учетом перечисленных первичных ошибок ошибка перемещения

Аф£ = Афз = Фз

АрО + Ф2- +

ф5АЛ(ф5)ф

2 +8.

(5.4.6)

Малая величина 8 определяет действие остальных первичных ошибок механизма.

5.5. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОШИБОК МЕХАНИЗМОВ

В задаче точности механизмов наибольший интерес представляет анализ точности партии механизмов, вьшолненных по одному конструкторскому и технологическому проекту

(серийное изготовление механизмов). При этом ошибки Aq в зависимости от их физической природы в общем случае могут быть рассмотрены в виде случайных величин или случайных функций, ограниченных соответствующими полями допусков.

Первичные ошибки в зависимости от законов их распределения связываются с назначенными на них допусками при помощи известных соотношений [2, 12, 13J, которые позволяют составить выражения для средней

(Афох) и квадрата предельной аф ошибки положения. Если ошибки Aq в партии

механизмов представляют собой случайные величины, то

Аф = JAM Л!ф, +

(5.5.1)

(5.5.2)

Здесь по / и j суммируются скалярные первичные ошибки, соответственно не вызывающие явления люфта и характеризующие явление люфта; по s суммируются векторные ошибки; 6/,5y,5j. - половины полей допусков на соответствующие ошибки; А о/, Aqj

- координаты середины полей допусков, отсчитанные от номинальных размеров элементов звеньев; Cj, а/, kf, к, kj - коэффициенты, характеризующие законы распределения ошибок и введенные в практику расчета точности механизмов И. А. Бородачевым.

На основе формул (5.5.1) и (5.5.2) может быть найдена практически предельная ошибка

Афпп = Аф02: + Аф2:- (5-5.3)

Вопросы расчетного обоснования точности механизмов, основанные на использовании формулы (5.5.3), достаточно полно изложены в литературных источниках [3, 4, 6, 7, 11].

В механизме все первичные ошибки могут быть случайными величинами. Тем не менее, ошибка положения для партии подобных механизмов может представлять собой случай-

ную функцию, если передаточные отношения при первичных ошибках являются функциями координат положения ведущих звеньев механизмов. Вследствие отмеченной специфики указанного вида случайной функции для ошибки положения ее анализ не может дать существенно новых результатовпо сравнению с получаемыми из анализа выражениями для предельного значения ошибки положения. Поэтому точность партии механизмов, первичные ошибки которых являются случайными величинами, может бьпъ достаточно полно охарактеризована при помощи выражений

(5.5.1) и (5.5.2).

Однако для весьма широкого класса механизмов представление всех первичных ошибок в виде одних только случайных величин является определенной идеализацией. В качестве примера можно отметить ошибки элементов высших кинематических пар, которые в абсолютном большинстве представляют собой случайные функции.

Поскольку отдельные первичные ошибки в партии механизмов являются случайными функциями, то и ошибка положения, характеризующая собой показатель точности партии механизмов, также должна бьггь представлена в виде случайной функции. Формулы (5.5.1) и

(5.5.2) могут бьоть рассмотрены как основанные на знании математического ожидания и дисперсии случайной функщш. Для более полного описания случайной фунюдии дополнительно к таким характеристикам, как математическое ожидание и дисперсия, необходимо выявить корреляционную функцию, которая характеризует собой степень зависимости между сечениями случайной функгцги, относящимися к разным значениям аргумента:

ЦЬ т) = (Mmi) - M[a(v/i)] x

x{ai7(v/2)-[a(v/2)]}

(5.5.4)

где v/ - координата, определяющая положение некоторого звена механизма; ф! и v/2 -два произвольных значения координаты v/,

пробегающих всю совокупность ее возможных значений.

При v/i = ф2 = подучим выражение для дисперсии случайной функции

(фь Ф2)

{a(v/)-JI/[a(v/)]}

(5.5.5)

При расчете точности механизмов действие всех первичных ошибок приводится к ведомому звену. Это позволяет вьхявить влияние каждой ошибки на точностные показатели работы механизма в целом. Для первичных ошибок, представляющих собой случайные функции, характеристики последних в виде математических ожиданий и корреляционных функций также должны бьпъ приведены к ведомому звену механизма. Поскольку передаточные отношения при скалярных первичных ошибках являются регулярными функциями, то соответствующее выражение корреляционной функции, приведенной к ведомому звену механизма, имеет следующий вид:

(5.5.6)

где А.* и А*2 - значения передаточных отношений механизма, соответствующие значениям v/i и v/2; *(фьФ2) - корреля-

ггионная функция для одноименных скалярных первичных ошибок в партии механизмов.

Плоские векторные ошибки в основном имеют следующий характерный признак: модули их представляют собой существенно положительные величины, а составляющие передаточных отношений при первичных ошибках - гармонические функхши, начальная фаза которых без каких-либо существенных ограничений может бьггь принята распределенной по закону равной вероятности внутри области изменения аргумента от О до 2 тс [2, 3]. Тогда

где К* - корреляционная функция для од-поименных векторных ошибок в партии механизмов; т = v/2 - ф1 - интервал изменения

независимой переменной.

При изготовлении звеньев механизма ошибки ограничиваются полем доггуска, связанным с выражением для дисперсии известным соотношением [2, 4, 13]. С другой стороны, корреляционная функция случайной функгщи при равных значениях ее аргумента равна ее дисперсии. Поэтому правые части коррелягщонных функций (5.5.6) и (5.5.7), выраженные через параметры, характеризующие поля допусков на скалярные ошибки и на модули плоских векторных ошибок, могут быть преобразованы следующим образом:

(5.5.8)