Афпп =

Ряд характерных видов корреляционных функций для первичнык ошибок отдельные звеньев механизмов и ошибок перемещения последних рассмотрен в литературных источниках [4, 121. Так, для многих видов механизмов (зубчатых, винтовых, кулачковых и др.) корреляционные функции явтыются стационарными и поэтому могут быть представлены в виде (5.5.13).

5.6. точность И ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ НАДЕЖНОСТЬ МЕХАНИЗМОВ

Вопросы, связанные с исследованием надежности механизмов, могут быть рассмотрены в двух аспектах: 1) ненадежность механизмов ввиду возможности возникновения в них внезапных отказов (например, поломки звеньев кинематической цепи); 2) ненадежность механизмов вследствие накопления с течением времени абсолютных величин первичных ошибок (например, ошибок в результате износа элементов кинематических пар). В теории точности рассматривается второй аспект. При этом решение сводится к определению с выбранной вероятностью некоторого усредненного времени работы механизмов, в период которого соответствующие показатели их точности удовлетворяют заданньп допускам или техническим требованиям [4, 5]. Решение обратной задачи заключается в том, что по заданному времени эксплуатации механизма подбираются соответствующие допуски на изготовление его отдельных элементов звеньев исходя из реальных возможностей производства. Как прямая, так и обратная задача (в рассматриваемой постановке) базируются на разработанный аппарат точности механизмов при наличии соответствующего статистического материала.

Уже отмечалось, величины ряда первичных ошибок механизмов могут изменяться с течением времени, например, вследствие износа элементов кинематических пар. В настоящее время накоплен соответствующий статический материал, позволяющий во многих случаях аппроксимировать показатели изменения первичных ошибок в виде линейной функции:

A =A(7+AL r, (5.6.1)

где Д - начальная первичная ошибка; Т -

время эксплуатации механизма с момента его изготовления или последней регулировки.

После подставновки (5.6.1) в (5.2.6) и (5.4.4)

Д<Р1(7) = ХК+Дп7);

(5.6.2) (5.6.3)

Введем обозначения

ф(ф,o)=2;a<7

фЦ<р,Т) = Т£{А 2-А г)Ад п

в (5.6.2) и (5.6.3):

A<Pz{T) = Ф1(Ф, 0) + Ф2(ф, Т); (5.6.4)

А<рЦТ) = Ф1(ф, 0) + Ф2 (ф, Т) . (5.6.5)

Формулы (5.6.4) и (5.6.5) позволяют вычислить ошибку конкретного экземпляра механизма при известных первичных ошибках и усредненных показателях изменения ряда последних в функции времени. При массовом (серийном) производстве однотипных механизмов и идентичных условиях их эксплуатации входящие в формулу (5.6.1) параметры

А и AZ в зависимости от физической

природы их возникновения могут носить систематический или случайный характер. В

последнем случае А и AZ рассматриваются как случайные величины. Тогда согласно (5.6.4) и (5.6.5) математическое ожидание и

дисперсии ошибок Аф и Аф могут быть выражены

Л/[Дф£(7)] = Л/[Ф,] + Л/[Ф2];

A(fl{T) =м ф1 + м

о2[дф(Г)] = о2[ф+ф].

(5.6.7)

При отсутствии достаточного объема экспериментальных данных законы распределения первичных ошибок Moiyr быть найдены методами математического моделирования [4, 8, 10]. В указанной постановке задачи оценку параметрической надежности механизмов можно определить, основываясь на условиях (5.6.6) и (5.6.7):

Щф] + М[Ф2] ± 3 {М{Ф1 - М[Ф1 +

+М{Ф2-М[Ф2

<5;

м[фг] + м[ф2]± 3 {м[ф1 - м[ф1 У +

+Цф5-аг[ф2])

(5.6.8)

Половина поля допуска выбирается в этом случае на основе следующих равенств:

б = 61 М[Ф1] + В\М(Ф1 - М[Ф1 J

/[ф?] + 2? 1/(ф?-м[ф?р

где Gy В - целые положительные числа; их выбор обуславливает необходимый запас точности при эксплуатахщи.

Первое выражение (5.5.8) может быть приведено к следующему виду:

ST + 2NT + F = 0у (5.6.9)

S = ш(Ф2 - м[ф2]) - {Щ2;

N = вМ[Ф2Ь-еМ[Ф1; (5.6.10)

F = Ш(Ф1 - ЩФг - (б - вМ[Ф1 ;

1 при М[Ф1 -1 при М\Ф1

Ф2]>0; + М[Ф2]<0.

В соответствии с (5.6.10) коэффихщенты Sy Nk Fug зависят от Т. Таким образом, из решения уравнения (5.6.9) может бьггь найдена величина Г > О, определяющая эксплуата-хщонную надежность механизма. Аналогичный вывод может бьггь получен на основе второго выражения (5.6.8) [4, 5].

5.7. ВОПРОСЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ТОЧНОСТИ МЕХАНИЗМОВ (ВЕРОЯТНОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ТОЧНОСТИ МЕХАНИЗМОВ)

Достаточно полно разработанная линейная теория точности, основоположником которой является академик И. Г. Бруевич, не позволяет считать окончательно решенной задачу исследования точности, в частности, для механизмов с высшими кинематическими парами и ряда других важных классов механизмов. Методы линейной теории точности дают возможность проводить анализ ошибок положения и перемещения механизмов с низшими и высшими кинематичесхсими парами. Исследование ошибок скорости и ускорения не может быть осуществлено на основе разработанных методов линейной теории точности, так как эти величины являются существенно нелинейными функциями первичных ошибок.

Другой класс объектов исследования, для которых, не представляется возможным применение фундамехггальных формул линейной теории точности, - механизмы с уравнениями движения, заданными в неявном виде. Указанные обстоятельства привели к дальнейшему развитию теории точности, связанной, в частности, с разработкой общих методов исследования точности сложных кинематических цепей (без наложения каких-либо ограничений на вид кинематических пар, их звеньев или формы записи уравнений, описывающих движение последних).

Развитие вычислительной математики и техники позволило найти весьма эффективное и универсальное направление в разработке методов/решения сходных по своей постановке задач и привело к разработке основ нелинейной теории точности механизма, что от-хфывало возможность проводить исследования точности в тех случаях, когда разработанные ранее методы оказывались неприемлемыми.

Поскольку нелинейная система уравнений, описывающих ошибки механизма, охватывает как частный случай линейную систему уравнений, рассматриваемую в линейной теории точности, то, следовательно, нелинейные методы анализа точности мохуг быть применены и в этом случае, когда допустима линеари-захгия уравнений ошибок механизма.

Сущность вероятностного моделирования в задачах точности заключается в следующем. На основе всестороннего изучения исследуемого механизма строится его математическая

модель, представляющая собой совокупность уравнений, позволяющих однозначно определить закон изменения выходных координат ведомого звена механизма с учетом произвольно выбранного возможного сочетания его первичных ошибок. Имитация случайных первичных ошибок выполняется с помощью случайных (псевдослучайных) чисел, вырабатываемых ЭВМ в соответствии с их законами распределения по ходу моделирования - при использовании метода статических испытаний (метода СИ), или путем введения в память ЭВМ таблищл дис1фетных значений первичной ошибки с соответствующими вероятностями - при использовании метода деревьев логических возможностей (метода ДЛВ),

Моделирующий алгоритм, построенный с использованием метода СИ или ДЛВ, позволяет получить любые вероятностные характеристики на выходе, предусмотренные программой исследования, в частности, средние значения, средние квадратические отклонения, а также гистограммы распределений, характеризующие вид законов распределения искомых ошибок.

Общие моделирующие шш)ритмы [4, 8, 10] позволяют методами СИ и ДЛВ в вероятностной постановке вычислить ошибки положения (перемещения), скорости и ускорения плоских механизмов с низшими и высшими кинематическими парами, а также механизмов, описываемых уравнениями в неявном виде. В моделирующих алгоритмах выделены стандартная и нестандартная части. В первой сосредоточены все общие по своей постановке специфические особенности задач теории точности, связанные с вероятностным моделированием скалярных, векторных и представляющих собой реализации случайной функции первичных ошибок, а во второй - содержание конкретной схемы кинематической цепи исследуемого на точность функционирования механизма.

Метод ДЛВ основан на использовании ряда теорем, касающихся свойств линейных графов, характеризуется рассмотрением лагранжева дерева**, ветвями которого, ин-циндентным одной вершине, приписывается вполне определенная масса** вероятности.

В целом ряде инженерных задач, точность решения которых во многих случаях ограничивается несколькими процентами, применение метода ДЛВ может дать определенные преимущества по сравнению с использованием метода СИ ввиду относительной Простоты формирования законов распределения случайных чисел, характеризующих в определенном масштабе соответствующие первичные ошибки в изготовлении отдельных

звеньев и элементов устройств. Отмеченное обстоятельство приобретает особое значение в случае, когда законы распределения первичных ошибок получены эмпирическим путем и не поддаются аппроксимации с желаемой точностью с помощью относительно несложных аналитических выражений. Кроме того, метод ДЛВ позволяет отыскать решение стохастических уравнений на ЭВМ без какого-либо формального преобразования соответствующего алгоритма или машинного уравнения, составленных для решения задачи в детерминированной постановке.

Основные положения метода ДЛВ в приложении к решению задач точности механизмов заключается в следующем. Пусть имеется некоторое пространство логических возможностей. В этом пространстве может быть построено так называемое дерево, представляющее собой связанный граф, в котором нет ни одного контура. Каждая ветвь такого дерева характеризует один из возможных исходов опыта, заключающегося в том, что при изменении некоторого параметра звена или его элемента выявлено кон1фетное значение соответствующей первичной ошибки. В условиях массового производства механизмов по единому конструкторскому и технологическому проекту все первичные опшбки принимают случайный характер, причем их модули ограничены соответствующими полями допусков. Тогда каждой ветви дерева приписывается некоторая вероятностная мера, представляющая собой безусловную или условную вероятность получения отдельных одноименных первичных ошибок или возможного сочетания разноименных.

Метод ДЛВ основан на представлении законов распределения первичных ошибок в виде дис]фетных и во многих случаях (например, при наличии в устройствах нескольких разноименных первичных ошибок) не уступает по точности методу СИ, позволяет решать задачи более коротким и простым путем.

Ниже рассмотрен простейший пример графического построения ДЛВ. Пусть система включает независимые случайные величины л, by и Су каждая из которых может принимать несколько дискретных случайных значений (например, /, J, А: = 1, 2, 3) с заданными вероятностями Д., Pi,., Р. :

Ск{сь сз);