Pat (Ра Ра , Ра, ), Pbj (П Рь, . Ph, },

Рс,(Рс Рс Рс,).

(5.7.1)

Для независимых случайных величин процесс построения ДЛВ можно начать с любой из них и в произвольной последовательности. Пусть реализация - это каждое из возможных сочетаний случайных величин, имеющих место при проведении опыта. Тогда вероятность появления каждой из проведенных реализаций

Pabjc, = [ / А bj лСк] = Pa,Pa,bjPa,bjC,

(5.7.2)

Последние два сомножителя в правой части выражения (5.7.2) последовательно указывают выбранный путь на ДЛВ. В более об-

щем случае, когда случайные величины являются зависимыми (в статистическом смысле), вероятности Р. и PabjCi, являются условными. Следующее равенство очевидно:

P = T.Pa,bjc,

= 1.

На рис. 5.7.1 показано ДЛВ, построенное по условиям (5.7.1) с помощью выражений вида (5.7.2). Точка О называется корнем дерева, отрезки прямых Р. - ветвями первого

ранга, отрезки прямых Pabj ~ ветвями второго ранга, а отрезки прямых Ра,Ь с/, вет-вями

третьего ранга. При построении ДЛВ ветви всех рангов откладывают в одном масштабе. Поэтому схеме ДЛВ присуща определенная наглядность. По ветвям наивысшего ранга можно определить число путей логических возможностей. В рассматриваемом случае N= 27.

Pa2b2C2 Pa2b2Cj \yf Pa2b2Ci

%bjCj Pa2bs

PajbjC2

Pdjbj PPajbjCj PajbjCj PajbsC2

Рис. 5.7.1. Схема дерева логических возможностей

5.7.1. Таблица, эквивалентная схеме ДЛВ с ветвями т -го ранга

В общем случае аналогично может быть

построена схема ДЛВ с ветвями т* -го ранга или составлена эквивалентная ей табл. 5.7.1.

дискретных значений случайной величины номер /, то число путей в дереве N = л/,

При этом если через щ обозначить число причем пути имеют вероятности, определяе-

мые с помощью следующих выражений в зависимости от того, являются ли случайные

величины /11,/12,л/* связанными или

независимыми в статистическом смысле:

Лчл2...л. =[1 2 .....

Р[п1]Р[п2].....P[nr.iY

Таким образом, в конечных случайных процессах каждому пути на ДЛВ приписывается некоторая масса вероятности, равная произведению масс вероятностей, характеризующих собой ветви разных рангов, входящих в рассматриваемый путь.

Для моделирования случайных процессов, связанных с применением метода СИ в задачах точности, необходимо осуществлять формирование случайных чисел, подчиняющихся соответствующим законам распределения. Результаты, получаемые методом СИ, носят случайный характер, и, следовательно, необходимо обеспечить их статистическую устойчивость, поэтому вопрос о числе реализаций приобретает первостепенное значение.

Число реализаций при решении задач методом СИ определяется требуемым уровнем точности получаемых результатов. Пусть цель моделирования - вычисление вероутности Р появления некоторого случайного <кобытия Е. Например, при исследовании точности механизмов практический интерес могут представлять вероятности выхода значений ошибок положения, скорости, ускорения ведомого звена за определенные пределы. В качестве оценки для искомой вероятности Р принимают частоту L/N наступления события Е при реализахщях (где L - число испытаний, при которых происходит событие Е). По центральной предельной теореме теории вероятностей частота L/N при достаточно

больших значениях N имеет распределение, близкое к нормальному, с математическим ожиданием Л/[Х/7\] = р и дисперсией

g[l/n] = P{l-p)/N.

Задаваясь определенной вероятностью Р, можно найти по таблицам нормального распределения значения tp и получить доверительную оценку L/N в виде:

P{\L/N\-p)<z = tp{p{l-p)/Nf\

По формуле (5.7.3) с вероятностью, большей чем 0,997, величина L/N удовлетворяет условию

Таким образом, погрешность метода статистических испьгганий при вычислении вероятности события никогда не превышает величины

s = 3{p{ip)/n)

Отсюда можно определить число реализаций N, необходимых для получения оценки L/N с точностью 8 и достоверностью Р =0,997:

N = 9p{l-p)/s

Аналогично можно оценить число реализаций, необходимых для оценки по результатам моделирования среднего значения случайной величины. Предположим, осуществляется формирование реализаций случайной величины X, имеющей среднее значение а и дисперсию . В качестве оценки среднего значения используется среднее арифметическое

х = ЛГ-1х, . (5.7.4)

По центральной предельной теореме при больших значениях N среднее арифметическое (5.7.4) имеет распределение, близкое к нормальному с математическим ожиданием а и

дисперсией g/N. Отсюда доверительная

оценка х принимает вид:

P[\a-x\<s) = tpG/yfN .

Поэтому точность

z = tpGl[N . (5.7.5)

Решение уравнения (5.7.5)

N = tll} . (5.7.6)

При Р =0,997 формулы (5.7.5) и (5.7.6) принимают соответственно вид: