Весьма существенной частью аппарата вероятностного модетшрования является умение формировать реализации случайных величин, подчиняющихся различным законам распределения. Вопросы, связанные с законами распределения первичных ошибок, исходя из специфических условий производства и сборки механизмов, впервые рассмотрены Н. А. Бородачевым. В литературных источниках [4, 8] изложены методы формирования случайных величин, подчиняющихся различным, наиболее часто встречающимся на практике законам распределения, обладающие повьппенным быстродействием и точностью.

Пример. Пусть свободное движение автоколебательной системы описывается обьпсновенным дифференциальным уравнением

bi,..., by,; bl+x,..., 6;/) = 0;

1 S < ,

(5.7.7)

где n - расчетные значения параметров, характеризующих соответственно линейную и нелинейную части уравнения; / -независимая переменная.

Входящие в (5.7.7) параметры by

представляются в виде:

Ь = Ь + Abi,...; by = b + Aby ,

(5.7.8)

где A, AZ> - некоторые приращения

параметров, которые принимаются случайными с известными законами распределения.

Определив величины Л/

и подставив их в (5.7.7), имеем:

M[b,\ .,M[b,\ bl , ,bl;t) = 0.

(5,7.9)

Найденные из (5.7.9) путем решения на ЭВМ амплитуды и частоты автоколебаний

Решение задачи основано на методе ДЛВ, для чего непрерывные законы распределения г(А), л(А/>и) в области практически возможных значений варьируемых параметров преобразуются в дискретные. Это дает возможность определить число и вероятности появления логических путей в дереве, а следовательно, построить дерево или составить идентичную ему таблицу. Тогда исходное уравнение (5.7.7) преобразуется к виду:

f.(y:\-,y.; Bl...,Bl bi,...,b,;

*0j,...,*0;/) = 0. (5.7.10) Согласно (5.7.1)

Для определения параметрической надежности динамической системы представим выражения (5.7.8) с учетом (5.6.1) следующим образом:

bi{T,) = b+Abi{T,),...; *h-(7v) = *w+AMv),

(5.7.11)

где Ту, <Т .

Функции А/>1(7\,), AZ>(7v) в сшш

с рассмотренньпли выше обстоятельствами являются медленно изменяющимися, для которых из теоретических соображений или экспериментальных данных известны законы

распределения Т(А), л(А, . При

решении задачи на основе методов ДЛВ для

каждого фиксированного значения 7, = const

должен быть осуществлен переход от непрерывных законов распределения

t(AZ>i, TV = Cv),r(A/>w> Ту, = Cv) к их

дискретным аналогам, в результате чего условия (5.7.11) принимают вид:

принимаются за расчетные

(аО,со ). по от- /..(zW...,*())

ношению к которым рассматриваются возможные отклонения значений а и со . При этом предполагается наличие в системе устойчивых предельных циклов.

(5.7.12)

Подстановка условий (5.7.12) в дифференциальное уравнение (5.7.10) позволяет вычислить всю последовательность решений и оценить вероятности получения последних, в том числе с позиций удовлетворения заданных технических условий по точности функционирования системы, под которыми понимают заданный уровень амплитуд автоколебаний.

0,Щ 0,09 0,05 0,01

Рис. 5.7.2. Зависимости изменения распределения ошибок функционирования партии систем {а) и оценки параметрической надетаости партии машин (б)

Дискретные распределения (5.7.12) для

всей последовательности значений Ту, -

дают возможность построить схемы ДЛВ (или составить эквивалентные им таблицы) и тем самьа* в рассмотренной выше последовательности отыскать всю совокупность реализаций случайной функции, получаемой в виде решений уравнений (5.7.10). При этом значению

= О будет соответствовать уровень точности

партии систем, достигнутый в процессе их изготовления и настройки. В работах [4, 5] рассмотрены примеры расчета управляющих систем, в которых ряд параметров подчинялся законам распределения, изменяющихся во времени. Характерный вид указанной последовательности приведен на рис. 5.7.2, а. Если техническими требованиями на эксплуатацию систем оговариваются вид зависимости

max(v) и вероятность P{jy ее удовлетворения, то нанесение max(v) на график дает

возможность оценить надежность работы партии систем (в рассмотренной постановке решаемой задачи) по выбранным параметрам.

К ключевым вопросам решения задачи

определения ошибок скорости Av и ускорения Aw механизмов с высшими кинематическими парами следует отнести также выбор вида интерполяционного полинома, при помощи которого описывается реальный профиль элемента пары. Исходя из специфики задач теории точности целесообразно использовать интерполяционные полиномы Лагранжа при неравных или равных расстояниях между соседними однократными узлами [4, 5]. При этом выбор положения узлов существенным образом зависит от вида корреляционной функции ошибки профиля элемента пары. Сформулированные подобным образом отдельные реализации случайной функции удовлетворительно отражают данные эксперимента (по критерию Пирсона Р(х) =0,64), связанного с измерением профиля изготовления партии звеньев механизмов с высшими кинематическими парами.

Существуют программы вьшолнения на ЭВМ вьршслений интерполяционных полиномов по Лагранжу и его первых двух производных. Имеется методология и рассмотрены примеры формирования законов распределения ошибок положения касательных и центров кривизны реализаций (в выбранных сечениях последних), описывающих реальные элементы высших кинематических пар, и на их основе разработана методология построения законов распределения ошибок скоростей и ускорений ведомого звена кулачкового механизма [4, 5].

Следует отметить, что комплекс общих вопросов точности и параметрической надежности механизмов путем имитационного вероятностного моделирования еще на стадии проектирования позволяет сравнивать количественно варьируемые расчетные характеристики с требуемьа1и по техническому заданию, выявить слабые места в конструкции кинематической цепи и принять меры к повьппе-нию ее надежности с одновременной ее оценкой.

В задачах параметрической надежности механизмов структура сложной кинематической цепи машины и ее предназначение должны обязательно учитываться. Без этого невозможно ответить на следующий вопрос: отказы какого характера и в каком узле машины могут привести к ошибкам точности ее функционирования, превышающим предусмотренные техническими условиями? Помощь при реше-

силы, ДЕЙСТВУЮЩИЕ В МАШИНАХ

нии этого кардинального вопроса теории точности и параметрической надежности механизмов должна основываться на формировании соответствующего банка данных по параметрическим отказам типовых узлов конструкций машин.

При наличии подобных данных расчет ожидаемой точности и надежности функционирования механизмов может бьпъ в определенной мере основан на разработанных положениях теории точности и методах ее решения путем вероятностного имитационного моделирования на ЭВМ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бозров Б. М. Расчет точности машин на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1984. 256 с.

2. Бородачев Н. А. Основные вопросы теории точности производства. М.: Изд-во АН СССР, 1950. 416 с.

3. Бруевич Н. Г. Точность механизмов. М.: ГИТТЛ, 1946. 332 с.

4. Бруевич Н. Г., Правоторова Е. А, Сергеев В. И. Основы теории точности механизмов. М.: Наука, 1988. 237 с.

5. Бруевич Н. Г., Сергеев В. И. Основы нелинейной теории точности и надежности устройств. М.: Наука, 1976. 134 с.

6. Быховский М. Л. Основы динамической точности электрических и механических цепей. М.: Изд-во АН СССР, 1958. 156 с.

7. Иванцов А. И. Основы теории точности измерительных устройств. М.: Изд-во стандартов, 1972. 210 с.

8. Кинематика, динамика, точность механизмов: Справочник / Под ред. Г. В. Крейни-на. М.: Машиностроение, 1984. 214 с.

9. Короткое В. М., Тайц Б. А. Основы метрологии и теории точности измерительных устройств. М.: Изд-во стандартов, 1978. 352 с.

10. Коченов М. И., Правоторова Е. А., Сергеев В. И. Вероятностное моделирование в задачах точности. М.: Наука, 1973. 152 с.

11. Сергеев В. И. Инструментальная точность кинематических и динамических систем. М.: Наука, 1971. 200 с.

12. Сергеев В. И. Основы инструментальной точности электромеханических цепей. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 215 с.

13. Точность производства в машиностроении и приборостроении / Под ред. А. Н. Гаврилова. М.: Машиностроение, 1973. 567 с.

Глава 6

ДИНАМИКА МАШИН 6.1. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Отличительная особенность машин и большинства механизмов среди других конструкций состоит в том, что их функции вы-

полняются в процессе движения. Большинство современных машин работают в напряженных режимах (форсированных по скоростям м нагрузкам), поэтому задачи динамики машин являются важнейшими, так как они определяют надежность работы машин с точки зрения ее прочности, долговечности, точности функционирования. Знание динамических явлений в машинах позволяет снизить металлоемкость, затраты энергии, улучшить управляемость и в итоге повысить их качество.

Современные машины используются в виде комплекса - машинного агрегата, состоящего из двигателя, передаточного механизма, рабочей машины и управляющей системы. Понятие динамика машин очень емкое, в которое включено определение: сил, действующих на звенья и в кинематических парах; движения всей системы, колебаний, уравновешивания; виброзащиты; динамической точности и управляемости.

В настоящей главе рассматривается задача динамики движения машинного агрегата, на которое влияют характеристики привода (электрический, тепловой, гидравлический, пневматический, магнитный), характер механической части (звенья, кинематические пары, их структура и конструкция), технологический процесс выполняемый машиной и тип управления. Для изучения динамики движения машин математическими методами необходимо прежде всего разработать динамическую модель машинного агрегата: динамические модели двигателя-привода, механической части -передаточного механизма, рабочей машины с моделью технологического процесса. Конечно, составление динамической модели носит эвристический характер. С одной стороны, стремятся учесть как можно больше таких факторов, как характеристики двигателей и рабочих машин с включением в них процессов, протекающих в двигателях и рабочих машинах, распределенность или сосредоточенность масс, их переменность, упругость звеньев, зазоры и характер трения в кинематических парах, физику явлений технологических процессов, а с другой - пытаются получить такие модели, для которых системы уравнений движения позволяют точнее и проще решить задачу. Конечно, нужны разумные компромиссы [3, 4, 5, 8].

6.2. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ В МАПШНАХ

Силы (моменты сил) делят на движущие и сопротивления. Движущие силы такие, элементарная работа которых на возможных перемещениях положительная, они стремятся увеличить скорость ведущего звена. Силы со-