ДИНАМИКА МЕХАНИЗМОВ С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ ЗВЕНЬЕВ

сшт инерции относитеяьного движения, приложенных к телу; Ф - главный вектор импульсных сил, приложенных к телу.

Кинетическая энергия тела с переменной массой, вычисленная относительно неподвижного начала координат О,

Го 0,5 WvvJ =20,5

где - скорость точки v тела переменной массы (суммирование идет по всем точкам v тела переменной массы).

Кинетическая энергия тела относительно центра масс iS*

где v - относительная скорость точки v

относительно tS* (суммирование ведется по всем точкам v).

Из механики переменной массы известно, что кинетическая энергия

То =7> +0,5mviep-0,5mvloT. (6.6.1)

где - относительная скорость перемещения центра масс звена в системе координат, связанной со звеном.

В частном случае Sot=> тогда

ер= и To=Ts + Omwl, т.е. выражение совпадает с выражением теоремы Кени-га для тела постоянной массы.

Следует обратить внимание, что в выражении кинетической энергии (6.6.1) содержится член со знаком минус, который уменьшает

энергию . Это объясняется тем, что кинетическая энергия тела вычислена относительно перемещающегося внутри тела центра масс.

Уравнение движения механизмов с переменной массой звеньев. Общности ради допускается, что все звенья в механизме имеют переменную массу. Выразим кинетическую

энергию у-го звена массой ntj в форме, удобной для динамики механизмов (рис. 6.6.1). Тогда

где SjOT относительная скорость центра масс звена, которая определяется исходя из

Рис. 6.6.1. Схема расчета звена j механизма с переменной массой, в котором центр масс Sj

перемещается относительно границ звена у

характера изменения массы звена; vnep -

переносная скорость центра масс звена, которая может бьггь определена, например, методом планов скоростей, так как это скорость той точки звена, которая в данный момент совпадает с центром масс звена.

Кинетическая энергия у-го звена относительно центра масс этого звена

Так как центр масс звена перемещается внутри звена со скоростью vot> то

где Pv5. - радиус-вектор точки v звена с началом этого вектора в центре масс tSy .

Возводя в квадрат v - и подставляя его в выражение для Т. , получим:

xV,ot +vl.<

где Js. =vPv5 момент инерции зве-

на относительно его центра масс; по форме он совпадает с моментом инерции звена с постоянной массой, но Шу, - переменная величина и, так как центр масс Sj перемещается внутри звена, то psj изменяется. Сумма

= соу xntjPSjSj =0,

где mj - масса всего звена; PSjSj = О-Тогда

Ts. =0,5Js.<j+0,5mjl,,

а следовательно,

Tj=OJsyj+0mjl . (6.6.3)

Кинетическая энергия звена с переменной массой равна сумме кинетических энергий затвердевшего звена во вращательном движении относительно центра масс и в переносном движении центра масс, причем скорость переносного движения центра масс звена является скоростью той точки звена, которая в данный момент совпадает с перемещающимся центром масс.

Последняя форма кинетической энергии очень напоминает форму для кинетической энергии звена с постоянной массой, но при этом Js.,mj и v.nep - переменные величины. Конечно, могут быть частные случаи, когда любая из этих величин будет постоянной величиной. Если все они постоянные, то получается обьиное выражение для кинетической энергии звена с постоянной массой.

Пользуясь последним уравнением кинетической энергии, лепсо составить выражение для приведенного момента инерции механизма (приведенной массы). Как обьино, определяется приведенный момент инерции механизма исходя из равенства кинетических энергий звена приведения и всего механизма:

Откуда

(6.6.4)

Форма совпадает с обычным выражением приведенного момента инерции для механизмов постоянной массы. Особенности связаны с тем, что приведенный момент инерции может определяться не только положением ф звена приведения механизма, но и, например, временем, если масса каких-либо звеньев зависит от времени, fh = m(t) . Даже если масса звена изменяется в функции угла поворота ф,

т.е. зависит от положения звена т = т((р) , то и в этом случае приведенный момент инерции количественно будет другим, тем более что часто масса звена изменяется непериодически. Таким образом, приведенный момент инерции в механизмах переменной массы является функцией не только положения, но и времени (а может быть, и скорости) и не является периодической функцией. В дальнейшем если приведенный момент инерции будет зависеть от массы, его выражение будет представлено в

общем виде так: = ф)

Приведение сил в механизмах с переменной массой выполняется по равенству мощностей приведенного момента (или приведенной силы) и приводимых сил и моментов. Все внешние силы (движущие и силы сопротивления) приводятся обьпным образом, поэтому ниже рассмотрено лишь приведение реактивных сил. Приведенный момент реактивных сил

где Rf, Rj у Фj - главные векторы кориолисовых сил инерции, сил инерции относительного движения и импульсивных сил приложенных к у-му звену; Wj - скорость точки

приложения реактивных сил.

В частных случаях некоторые из векторов, а возможно и все, равны нулю или настолько малы, гго ими можно пренебречь. Для составления уравнения движения машинного агрегата используется теорема об изменении кинетической энергии механизма как система твердых тел с учетом принципа затвердевания (переменную массу выносят за знак дифференцирования как постоянную величину и оператор отмечают звездочкой.) Для этого случая

УЧЕТ УПРУГОСТИ ЗВЕНЬЕВ И ДИССИПАТИВНЫХ СВОЙСТВ

dTdA+dAR,

где Т = 0,5/п (/й, ф)со - полная кинетическая энергия механизма; dA = Mj dcp - dcp - элементарная работа всех внешних движущих сил и сил сопротивления; dAj = М d(p - элементарная работа всех реакгивных сил.

После деления левой и правой части на d(p получено

0,5/п(/й, ф)со

Производная

2 d(p

0)2 d*J(m, ф) d(Si

d*J{m, ф) 2 ф *

Уравнение движения машинного агрегата с переменной массой

изгибаться, растягиваться, сжиматься. Все материалы, из которых изготовляют звенья, деформируемы, и в некоторых задачах нельзя не считаться с этим при изучении динамики машин, тем более что иногда необходимо вводить упругие элементы в цепи механизмов, например упругие предохранительные муфты. Совсем нельзя не учитывать упругость звеньев при изучении колебательных процессов в машинах. Учитывать все виды деформаций звеньев и соединений их в кинематические пары нет необходимости, так как в практических задачах только отдельные узлы или даже отдельные звенья имеют значительно большие податливости по сравнению с другими.

Учет упругости звеньев и диссипации энергии рассмотрен на примере зубчатого редуктора с упругими звеньями, входящего в состав машинного агрегата. На рис. 6.7.1, а приведена схема такого агрегата. Будем учитывать деформацию вала между двигателем D и входньв! звеном 2 редуктора, деформацию зубьев в обеих парах зубчатых колес и деформацию вала между выходным звеном 5 редуктора и рабочей машиной М.

Характер упругих деформаций следующий: валы скручиваются; зубья колес изгибаются. Упругая деформация характеризуется жесткостью или, точнее, коэффициентом жесткости упругого элемента. Коэффициент жесткости - это коэффициент пропорциональности между силой (моментом) и деформацией. Эти коэффициенты имеются в справочниках по сопротивлению материалов и зависят от геометрии упругого элемента и материала, из

(6.6.5)

По форме уравнение (6.6.5) похоже на уравнение движения машинного агрегата с постоянной массой, но имеет особенности. В правой части уравнения кроме привычных приведенных моментов движущих сил и сил сопротивления имеется момент реактивных сил, а в левой части стоит производная со звездочкой, которая позволяет за знак этой

производной выносить массу т .

Это и без того сложное нелинейное уравнение второго порядка еще усложняется наличием переменных масс, поэтому решать такие уравнения наиболее целесообразно численным методом с использованием ЭВМ [2, 7].

6.7. УЧЕТ УПРУГОСТИ ЗВЕНЬЕВ И ДИССИПАТИВНЫХ СВОЙСТВ СИСТЕМЫ

Звенья машинного агрегата не являются абсолютно жесткими недеформируемьвш телами, поэтому в процессе движения механизмов отдельные звенья могут скручиваться.

Joe пв

Рнс. 6.7.1. Зубчатый редуктор с упругими звеньями