1 dt

G dt

-ф(а/)1

где

G dt

где G - модуль сдвига.

Уравнение совместности деформадай через функцию напряжений записывается так

1 д Gdt

дх = -20.

(8.8.8)

Решение этого уравнения и уравнения (8.8.7) может быть получено шаговым методом.

Иногда предпочтительнее использовать интегральные зависимости между деформациями и напряжениями, аналогичные (8.8.4), при соответствующей модификации шагового метода.

Для линейно вязкоупругого материала справедливы зависимости

где K{t - ядрб ползучести материала.

Тогда функцию напряжений ф и относительный угол за1фучивания находят из уравнений

Уф = -2М,р ,

Лхр(0

где Jxp - геометрическая жесткость стержня при кручении.

Отсюда следует, что напряженное состояние линейно вязкоупругого стержня совпадает с напряженным состоянием упругого стержня.

Глава 8.9

СТЕРЖНИ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Настоящая глава посвящена сплошным и тонкостенным стержням из композиционных

материалов, получившим широкое применение в технике в качестве элементов конструкций различного назначения. Композитные стержни наряду с такими важными свойствами, как высокие удельные (по отношению к массе) прочность и жесткость, обладают рядом особенностей, которые необходимо учитывать при расчете. К ним относятся слоистый характер и анизотропия материала, а также сравнительно низкие трансверсальные (межслоевые) жесткость и прочность. Ниже приведены основные соотношения прикладной теории композитных стержней, учитывающие особенности их структуры и материала [6].

8.9.1. изгиб балок

Композиционные материалы широко применяют для изготовления балочных элементов конструкций различного назначения, а высокомодульные композиты на основе углеродных и борных волокон - кроме того, для усиления металлических балок. Конструктивно они представляют собой, как правило, слоистую систему (рис. 8.9.1), включающую в общем случае слои композита, металла и податливого на сдвиг заполнителя из сот, пенопласта и др.

тттг

Рис. 8.9л. Ржсчетшш схемж слоистой балки

Прикладная теория изгиба композитных балок основана на приведенных ниже уравнениям и соотношениях. Уравнения равновесия (штрих - производная по х)

(8.9.1)

где р - pt\- Qbf; bi и - ширина соответственно нижней и верхней полки.

Соотношения упругости для осевой силы Ny изгибающего момента М и поперечной силы Q следующие:

N = Bu; M = Dd; G = (e + v),

(8.9.2)

ще В и D - соответственно осевая и изгибная жесткости; и(х) и в(х) - соответственно осе-

вое смещение и угол поворота сечения балки; v(x) - прогиб.

Величины By D и координата е нейтральной оси балки определяются равенствами

(8.9.3)

Для слоистой балки (см. рис. 8.9.1)

(8.9.4)

ще л=0, I, 2; Ех- осевой модуль упругости.

Композиционные материалы на основе жестких волокон иногда используют в виде жгутов, усиливающих металлический профиль (рис. 8.9.2). В этом случае формула (8.9.4) обобщается следующим образом:

где EjyFj и sj - соответственно модуль упругости, площадь поперечного сечения и координата у-го жгута; т - число жгутов.

Рис. 8.9.2. Металлический профиль, усиленный композитными яоугжми

Жесткость при межслоевом сдвиге

\-1 / \-1

hr<* I

(8.9.5)

где GU - модуль сдвига.

Решение уравнений (8.9.1) и (8.9.2) находят последовательным интегрированием. В частности, из первого уравнения (8.9.1) определяют осевую силу N, из третьего - поперечную силу Qy а из второго - изгибающий мо-

мент М. Затем из первого соотношения (8.9.2) получают перемещение и сечения, из второго - угол е его поворота, а из третьего - прогиб V. Решение включает шесть произвольных постоянных, которые определяются из граничных условий.

Из условия стационарности функционала Лагранжа

[Л5м + А/50 + G5(0 + v) - :p5v]dx = О

вытекают следующие естественные граничные условия:

А/5и=0; Л4!5в = 0; 05v=O.

Для защемленного конца балки w=v=e=0, для шарнирно опертого v=<), 3/=<) и или w=0, для свободного конца

iV=M=G=<).

По найденным N, Q и М может быть получено распределение напряжений по высоте сечения. Продольные нормальные напряжения, по величине которых можно оценить прочность слоев,

\В D J

тц у = у-е (см.рис. 8.9.1).

Одной из возможных форм разрушения композитаых балок является расслоение, вызванное межслоевыми касательными и нормальными напряжениями:

-у---]хЬуйу

У Ebydy - EJfyydy

Для слоистых балок проводят интегрирование по участкам (слоями).

8.9.2.устойчивость

Критическая осевая сжимающая сила (рис. 8.9.3), вызывающая потерю устойчивости в результате изгиба в плоскости.

Dk К- соответственно изгибная и сдвиговая жесткости, которые находят по формулам (8.9.3) и (8.9.5); - гфитическая сила, соот-

ПРОДОЛЬНЫЕ И ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ветствующая формуле Эйлера; с - коэффициент, зависящий от граничных условий; для шарнирно опертого стержня с=1, для защемленного с=4 и для консольного стержня колонны с=1/4.

Рис. 8.9.3. Расчеття схема слоистого стержня, сжатого в осевом направлении

8.9.3. продольные и изгибные колебания

Уравнения динамики композитных балок и стержней:

в + - dxj

де д\

дх дх

+ p{x,t)=B

dt

(8.9.6)

Здесь жесткости В, D, К определяются равенствами (8.9.3), (8.9.5). Аналогичные инерционные характеристики

B,=J; Ср=/о(е-ер);

we ер = /i o .

Для слоистого стержня

гце /1=0, 1, 2; р/ - плотность материала /-го слоя.

Коэффициент Ср, входящий в уравнения (8.9.6), учитывает связаный характер продольных и изгибных колебаний. Эти виды колеба-

ний разделяются, если Ср = О, или 6= е. Ъ общем случае ее, так как координата е

нейтральной оси зависит от распределения жесткости по сечению, а соответствующая характеристика - от распределения плотности материала. Условие 6=6 строго вьшолняет-ся для однородных стержней, при этом

\bydy / \bdy

, и для стержней.

структура которых симметрична относительно средней линии. При этом вр=е=Л/2. В общем случае необходимость учета связанности форм свободных колебаний можно ориентировочно определить сравнением параметра

(-41

I (от - номер формы

, 2 2 = я от

колебаний, / - длина балки) с единицей.

Если можно рассматривать отдельно продольные и изгибные колебания, приняв Ср=0, то система (8.9.6) сводится к двум уравнениям

(8.9.7)

dxdt

dt

1 = Р--К

,2- ,2-

(8.9.8)

Уравнение (8.9.7) описывает продольные колебания, а уравнение (8.9.8) - изгибные.

Коэффициент Вру входящий в уравнение (8.9.8), учитывает инерцию поворота сечения при изгибных колебаниях. Влияние этого эффекта на частоту свободных колебаний можно ориентировочно оценить, сравнивая параметр 2 2 /2

Xj) = % т Bj I с единицей. Если можно не учитывать инерцию поворота сечения, считая Д)=0, то уравнение изгибных колебаний имеет вид

4

д\ dy

dxdt

D д-р

= P---г-

К dt

Коэффициент, содержащий величину К, учитывает податливость слоистой балки при поперечном сдвиге. Существенность влияния этой податливости на частоты свободных ко-