ременной по дтшне стержней деформации ss), представляя систему как совокупность бесконечно большего числа бесконечно малых элементов с удлинением е(л)л, вместо суммы имеем интеграл по длине стержней

Считая стержни прямыми, все деформации и перемещения малыми, а также справедливым принцип суперпозиции, в общем случае для перемещения А получаем интеграл Мора

где Ni - продольная сила; Мр/ и Myt, -соответственно 1футящий и изгибающие моменты; Qyi, - поперечные силы; 8 - продольная деформация; 9 - относительный угол закручивания; = 1 / и = 1 / -

кривизна соответственно в плоскостях xz и ху, связанная с поворотами сечений относительно осей у vi. lyyyz ~ сдвига сечений соответственно в направлениях осей ylлZ

Внутренние силы определяются из вспомогательного состояния системы, в котором нагрузкой является единичная обобщенная сила Pi-\y приложенная по направлению искомого перемещения.

В случае плоской системы при деформациях в ее плоскости перемещения зависят от удлинения стержней, их искривления и поперечных сдвигов:

туры по толщине стержня; h - высота сечения). Допуская, что все эти параметры постоянны по длине одного стержня (или его участка), вместо интеграла (8.10.6) получают

oAt h

где ,Qjl - площади вспомогательных

эпюр Ni и М/ от /-Й единичной силы на соответствующем стержне или участке стержня.

Знак плюс сохрайяется, если соответствующие деформахщи от изменения температуры и от Pf=\ совпадают.

Вычисление перемещений от заданной нагрузки Р упрощается, если для материала систем справедлив закон Гука. В этом случае деформации элементов выражаются через внутренние силы и жесткости сечений:

кр .

1 МуР

EJ.,

р. ЕГ.

kyQyp

у ~ z ~

GA GA

где ку коэффихщенты, зависящие от

формы поперечного сечения; для прямоугольника А:=1, 2.

Формула Мора в общем случае линейно деформируемой пространственной систымы имеет следующий вид:

А, = (ЛГ.8+М + С,У)Л. (8.10.6) cyiypds rMMds rkyQyjQypds S [ I [ GA

При использовании формул (8.10.4) -(8.10.6) не существенны причины, вызвавшие деформации элементов в системе: неточности изготовления стержней, изменение их температуры, ползучесть материала, физически линейные или нелинейные деформации от напряженного состояния под нагрузкой и др. Например, при определении перемещения А от изменения температуры стержней используют формулу (8.10.6) при 8=a/Q,

ав = oAt / Л; = О (где а - коэффициент линейного температурного расширения; /q -температура на уровне центра тяжести; А/ -разность температур на крайних волокнах; предполагается линейное изменение темпера-

rk,QQ,pds i GA

(8.10.7)

Ввиду малости двух последних интегралов влиянием сдвигов (поперечных сил) обычно пренебрегают [И, 41].

При определении суммарных перемещений узлов ферм (8.10.7) часто учитывают лишь первый интеграл, так как эти перемещения зависят в основном от растяжения (сжатия) стержней фермы. В расчетах пространственных рам основными являются второй, третий и четвертый интегралы, так как в этом случае преобладают перемещения, обусловленные кручением и изгибом.

В расчетах плоских систем при деформациях в их плоскости интеграл Мора имеет вид

rNNpds rMMpds rkQjQpds

В расчетах ферм

k k

где iVJt/, iVJtp - продольные силы в /:-м стержне от Pf=l и от нагрузки Р; 1] - длина А:-го стержня; ЕА) - жесткость при растяжении (сжатии).

В расчетах плоских рам, балок обычно применяют упрощенное выражение

[MMpds

Интегралы вычисляют с помощью квадратурных формул, например формулы Симп-сона. На отдельном стержне или участке стержня она имеет вид

+ 4-

огК огК

(8.10.8)

где iS* и 2> - соответственно внутренние силы и жесткость сечения; индексы н, к, с - соответственно начало, конец и середина стержня (участка).

Если жесткость на участке постоянна, а произведение SSp - полином не выше третьей степени, то , приближенная формула (8.10.8) дает точный результат. Например, если эпюра Mi на всем участке линейна, а поперечная нагрузка q распределена равномерно, т.е. эпюра Мр - квадратная парабола (рис. 8.10.4), то

M.Mpds / . V

в случае, когда одна из эпюр линейна для вычисления интеграла Мора применимо правило Верещагина. Например, при изгибе стержня

MiMpds 1 EJ EJ

где Q - площадь криволинейной эпюры; у -ордината в линейной эпюре под центром А тяжести криволинейной (рис. 8.10.5).

8.10.4. МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТИ И ЖЕСТКОСТИ УПРУГОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ

Из линейной зависимости внутренних сил от нагрузки (8.10.1) и линейности выражений (8.10.7) следует принцип суперпозиции для малых перемещений стержневой системы (рис. 8.10.6, а):

\р-пЛп22-ппп-

(8.10.9)

В общем случае согласно (8.10.7) ik ki представляется в виде суммы шести интегралов:

+...

в матричной форме равенство (8.10.9) имеет вид

Д = А/ .

Здесь

Рис. 8.10.4. Пример примевення формулы Свмпсонт

Рис. 8.10.5. Эп

полученные по правилу Вере

§12 §22

1 л1

Симметричная матрица А называется матрицей податливости системы по направлению сил Р/. Ее элемент 5; численно равен перемещению по /-му направлению от Р]с=\ (рис. 8.10.6, б).

Если перемещения А независимы, матрица податливости А положительно определенная и DetAtO, то равенства (8.10.9) можно разрешить относительно сил Р/:

Л =-111

г12А2+... + Г1 А ;

2 = 211+-

+... + Г2 А ;

= 0,11 +n22

+...+fLA пп п

P = RA,

где R = А - матрица, обратная к матрице податливости; называется матрицей жесткости системы по заданным направлениям А.

Рис. 8.10.6. Схемы механической интерпритацин элементов матриц податливостей и жесткости конструкция

Произвольный элемент матрицы R численно равен реакции в /-й связи от единичного перемещения А:-й связи. Реакцию определяют в системе со связями, наложенными по всем п направлениям (рис. 8.10.6, в).

8.10.5. энергия деформации стержневой системы, преобразование матриц жбсткостбй и податливостей

Энергия и деформации стержневой линейно деформируемой системы (работа внутренних сил) может быть выражена в различных формах. Через внутренние силы

eNds . = J-

1 2<г/.

(8.10.10)

Откуда следует, что энергия деформаций всегда положительна (и>0) и равна нулю только в случае равенства нулю всех внутренних сил.

С учетом (8.10.1) и (8.10.10) имеем выражение для и через внешние активные силы Pi - элементы вектора Р :

и =0,51

1212 2

+ 5212Л+5222

+ VnA +5 ,ДР,+... + 5