Главная Расчет круглых валов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [ 20 ] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 или в матричной форме (8.10.11) ще Р -траспонированный вектор, т.е. строка из Ру. Аналогично, через перемещения А (элементы вектора А ) и = 0,5[AiA2...A]P = 0,5А ЕА, (8.10.12) Из выражений (8.10.11), (8.10.12) следуют формулы преобразования матриц податли-востей или жесткостей при замене переменных Pi или А] как формулы матриц преобразования квадратичной формы. Если силы Ру , для которых известна матрица податливостей А*, заменяют на новые Р/ так, чго Р * = VP, то новая матрица А = VA*V. Аналогично (8.10.13) (8.10.14) ще V выражает А * через А; А *= VA. Матрица V в выражении (8.10.14) или (8.10.13) может быть прямоугольной, т.е. порядок вектора А или Р может быть меньше, чем у вектора А или Р . Примеры использования формул (8.10.13), (8.10.14) приведены в гл. 8.14. Глава 8.11 СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ. КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА 8.11.1. метод сил Статическая неопределимость обусловлена наличием избыточных связей, превышающих минимум связей, необходимых для образования геометрически неизменяемой статически (нтределимой системы. Число избыточных связей называют степенью статической неопределимости, которую можно вычислить как разность чисел неизвестных сил и уравнений равновесия. Рассмотрим плоские стержневые системы. Расчет пространственных систем аналогичен, однако выкладки в этом случае более сложны и при расчете таких систем, как правило, используют МКЭ. Стержневая система находится в равновесии в том случае, если находятся в равновесии ее стержни и узлы. Если из плоской стержневой системы вьщелить стержень, то в общем случае в сечениях н начала и к конца стержня возникает по три внутренние силы N, Q, М. Эти шесть усилий связаны между собой тремя уравнениями равновесия. Таким образом, независимых усилий остается три. В случае, когда на одном или обоих концах стержня расположены шарниры, число независимых усилий равно соответственно двум или одному. Если уравнения равновесия составлять относительно независимых усилий, то число уравнений равновесия равно числу уравнений равновесия узлов. Степень статической неопределимости т = За +2а2 -а-п, (8.11.1) где aj,a2 и - число стержней, соответственно не имеющих по концам шарниры, имеющих один шарнир и имеющих два шарнира; п - число уравнений равновесия узлов. В число неизвестных не включены опорные реакции, при этом не учтены и соответствующие им уравнения. Таким образом для заделки или шарнирно-неподвижной опоры в число п не включены уравнения равновесия, соответствующие опорным закреплениям, а в случае шарнирно-подвижной опоры учгено только одно уравнение (например, = О, когда ось X горизонтальна, а шарнирно-подвижная опора накладывает связь в вертикальном направлении). Неизменяемая система, полученная из заданной путем отбрасывания избыточных связей (число которых равно степени статической неопределимости), является основной. Усилия в отброшенных связях обозначены буквой X. Для того чтобы основная система работала как заданная, необходимо, чтобы перемещения по направлению отброшенных связей были равны нулю. На основании принципа независимости действия сил составлена система канонических уравнений метода сил (8.11.2) где ду - перемещение по направлению /-й силы от у-й силы, равной единице (единичное перемещение); \ < ij <т\ - усилие в /-й отброшенной связи; Ар - перемещение по направлению /-й силы от нагрузки (грузовое перемещение). Коэффициенты канонических уравнений Ы 1 EF (8.11.3) (8.11.4) где M(Mj) и Nf(Nj) - ординаты эпюр соответственно моментов и продольных сил от =l(Xj =1); Мр и Np - ординаты эпюр соответственно моментов и продольных сил от нагрузки. При расчете стержневых систем (по действию температуры) для определения свободных членов А используют формулу (8.10.6). После решения системы канонических уравнений окончательные эпюры строят по выражениям М = Мр +МХ +ЩХ2, МС\ (8.11.5) NNp+NX+N22. NJC, (8.11.6) Расчет статически неопределимой системы сводится к расчету статически определимой с определением усилий в избыточных связях из системы канонических уравнений (8.11.2). Вопросы учета различных слагаемых в выражениях (8.11.3) и (8.11.4), контроля правильности построения окончательной эпюры, определения перемещений в статически неопределимых системах и учета симметрии пояснены ниже на примерах. Пример. Построить эпюры внутренних усилий в раме, показанной на рис. 8.11.1, д. По формуле (8.11.1) степень статической неопределимости т = 3.2+2.5-(1 + 3.3+2.2)=2. (8.11.7) Путем отбрасывания лишних связей получена основная система (рис 8.11.1, б). На рис. 8.11.1, в-д построены единичные и грузовая эпюры моментов, ординаты которых отложены со стороны сжатого волокна. Перемножением этих эпюр найдены единичные и грузовые коэффициенты системы канонических уравнений: Ъа bqa bqa =-; AlP =-; tiP ~- ЪЫ MEJ lAEJ (8.11.8) Рис. 8.11.1. Схема рамы, основная система метода сил и эпюры моментов Для контроля правильности коэффихщ-ентов построена суммарная эпюра (для упрощения выкладок на рис. 8.11.1, е суммарная эпюра построена при а=1). Проведена проверка: ZZ =11 -12 -21 -22 гР =\Р -2Р (8.11.9) Система канонических уравнений метода 4-Х -0,6667-X2 +0,4167- = 0; Ы Ы Ы -0,6667ЛГ. +1,6667-+0,2083 = 0. EI Ы Поэтому перемещения в статически неопределимой системе (8.11.10) (8.11.12) Из системы (8.11.10) получены ЛГ =-О,1340а ; Х =-0,1785а. (8.11.11) По формуле (8.11.5) построена окончательная эпюра (рис. 8.11.2, а). Перемножением единичной эпюры (см. рис. 8.11.1, в) на окончательную получено перемещение по направлению силы Ху (взаимный угол поворота в точке к\) от нагрузки в заданной системе, но в соответствии с первым каноническим уравнением (8.11.10) это перемещение должно быть равно нулю. Аналогичный результат получен при перемножении окончательной эпюры на эпюру М2 (см. рис. 8.11.1,. В результате при перемножении эпюры Af 2 на окончательную также должен получиться нуль, что используется для контроля проверки правильности построения окончательной эпюры. Основная система с нагрузкой Р и лишним неизвестными работает так же, как и заданная статически неопределимая система. ще - эпюра от единичного воздействия, приложенного в точке к (см. рис. 8.11.1, а), от силы или момента (соответственно для определения линейного или углового перемещения) в основной (статически определимой) системе. На участках, ще эпюра Af линейна, эпюра Q построена как тангенс угла наклона линии контура эпюры к оси рамы. При этом сила Q считается положительной в том случае, коща она вращает стержень или узел по часовой стрелке. Удобно использовать правило: поперечная сила положительна в том случае, если для совмещения оси рамы с контуром эпюры необходимо осуществить поворот против часовой стрелки (рис. 8.11.2, б). Если эпюра криволинейна, то вырезают соответствующий стержень на двух опорах, который нагружен . нагрузкой и опорными моментами (см. рис. 8.11.2, в). Эпюра С показана на рис. 8.11.2, г. Эпюра iV построена путем вырезания узлов (см. рис. 8.11.2, д). (JL- ОутОоа 0,13Ща \ff,0670qa \o,0670qa О, msga iiiiiiimiiiii:: 0,moqa 0,9J30qa f,067Oqa f,9J30qa Рис. 8.11.2. Окончагтельши! эшоря моментов и эпюры сил, действующих в раме |
© 2011 - 2024 www.taginvest.ru
Копирование материалов запрещено |