Граничные условия для у{х) зависят от за1феш1ения стержня. Например, в рассматриваемом случае (см. рис. 8.13.1) Я)=0; >(0) = 0; у{1)=0; у\1) = 0. Для определения 1фитической силы необходимо найти минимальное значение тшЛшп) Р котором ]фаевая задача для уравнения (8.13.1) или (8.13.2) имеет решение yi(x), отличное от нуля. Это решение дает форлсу потери устойчивости. В случае jE7=const общее решение уравнения (8.13.2)

у(х) = а + Ьх + csinnx + d cosnx.

Через начальные параметры Уо, уоу Mq; Hq уравнение (8.13.2) записывается согласно (8. 1.36) так:

У(х)=Уо

sinnx + (1 - COSAIX) +

- smnx), (8.13.3)

В общем случае четыре граничных условия позволяют составить четыре однородных уравнения для параметров уо, у Mq, Hq, Условие ненулевого решения - равенство нулю определителя эТой системы - позволяет вычислить минимальное значение лш и Р- Например, для случая, показанного на рис. 8.13.1, б, у=у=0. Условия у(1) и

у\1) = О дают для Mq и Hq два линейных уравнения. Приравняв определитель системы нулю, получаем характеристическое уравнение tgv=v, где v=Ai/. Минимальный корень уравнения = 4,493 дает 1фитическую силу

= 29,l9Ej/. Другие корни уравнения

tgv=v дают, так называемые, высшие Эйлеровы нагрузки, которым соответствуют неустойчивые формы равновесия.

Решение таких задач для различных способов закрепления упругого стержня постоянной жесткости приводит к единой обобщенной формуле Эйлера

P,=nEj/ll

(8.13.4)

где Iq =\х1 - свободная (приведенная) длина

стержня; ц - коэффициент свободной длины, который равен отношению длины одной полуволны синусоиды в форме потери устойчивости к длине стержня / (рис. 8.13.2).

\t7777.

Рис. 8.13.2. Изменение свободной длины стержня в зависимости от его способа закрепления

Формула Эйлера применима для достаточно гибких стержней, которые теряют устойчивость в упругой стадии при напряжениях к~к/> меньших предела пропорциональности Gj, ц. Формула для CTj имеет вид

(8.13.5)

где X = л/ / /; / = jJfA - радиус инерции сечения.

Предельное значение гибкости Xq, при

котором применима форлсула Эйлера, находится для каждого материала стержня:

Например, Xq 100 для стали СтЗ.

Если X < Xq, то использовать формулу Эйлера нельзя. В этом случае для определения применяют экспериментальные зависимости [2]:

к=с-К-пц) -> (8.13.6)

где а. - предел прочности при сжатии.

8.13.2. метод перемещений в исследовании устойчивосги стержневых систем

Для отдельного сжатого стержня при N Р можно решать неоднородные краевые

МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В ИССЛЕДОВАНИИ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 97

задачи и, в частности, по определению коэффициента жесткости (реакции стержня на смещения и повороты крайних сечений). Например, рассматривая задачу изгиба сжатого стержня (рис. 8.13.3) при повороте левой заделки, используют формулы метода начальных параметров (8.13.3) при УоОу у = 1- Для Mq и Hq из граничных условий у(1) = О, у\1) = О получают два уравнения, решая которые находят выражения

Tjievnl = lylN/EJ.

Яп =/21 =--Т1з(у),

Рис. 8.13.3. Схема определения специальных функций методом перемещений

8.13.1. Зависимости для определения специальных функций сжатых стержней при расчете на устойчивость

Функция

Схема и эпюра момента М

9l(v) =

9l(v)

Ф2Н =

tg(0,5v)

I 0,5v

ФЗ(у);

sinv

tg(Ov)

Ф4{у) = Ф1{0,5у) = лз(у); Л2Н = Л1

Ф1(у)

Продолжение табл. 8.13.1

i(v)=9i(v)- -

UEJ . .

Ф4()

EJ 2

vtgv

-vtgv

Примечание. v = / EJ.

Формулы для специальных функций Ф/()> Л/() даны в табл. 8.13.1. Их используют при исследовании устойчивости стержневых систем по методу перемещений: составляют уравнения равновесия системы в смежном состоянии. Критические параметры нагрузки находят как минимальные значения, при которых система уравнений равновесия в перемещениях имеет нулевое решение:

Приравняв к нулю детерминант системы (8.13.7), получают характеристическое уравнение

DetJ? = 0.

(8.13.9)

Минимальный корень этого урав-

нения позволяет определить

Ej/l\

(8.13.7)

Rz=0, (8.13.8)

Элементы матрицы жесткости системы R являются функциями параметра нагрузки Р:

где v = lP/(EJ),

к =min

8.13.3. исследование устойчивости стержней переменного сечения энергетическим методом

При определении критической нагрузки для стержней переменной жесткости краевую задачу для уравнения (8.13.1) часто невозможно решить в элементарных фунюдак. Требуется применение приближенного метода, как и в более сложных случаях сжатия стержня переменными продольными силами N{x) (рис. 8.13.4, д).Полная энергия системы