dF д W dF dw dF d w = p+h --+ - --2--.

dy dx dx dy dxdy dxdy

(9.2.21)

Учет начального прогиба. Приведенные выше зависимости справедгаивы для идеально плоских пластин в недеформированном состоянии. Реальные пластины могут иметь начальное искривление. Такие пластины относятся к пластинам с начальным прогибом {х,у). Прогиб WQ(x,y) - расстояние от искривленной срединной плоскости пластины до плоскости хОу.

Если прогиб Wq(x,>) удовлетворяет условию

1,

то его считают малым и пластину рассчитывают по теории пластин. При существенном начальном прогибе пластину следует рассматривать как оболочку и для ее расчета применять теорию оболочек. При учете начального прогиба часть приведенных выше формул изменяется.

Компоненты деформации срединной поверхности:

du d\ d{w + Wq) d{w + Wq)

dy dx dx

dx dy Основные уравнения:

(9.2.22)

2 2 dx dy

а(и> + и>о)а()у + >Уо) a)Vo aVp

= p+h

+ 2Z>3

dx dy

dx dy

aVa(w+wo) a/-a(w+wo)

ay ax

aV a(w+wo) ajcay алау

2 ,2, 2

(9.2.23)

Круглые пластины. Для расчета круглых пластин целесообразно использовать цилиндрическую систему координат. Переход к ней от декартовой системы координат осуществляется по формулам

x = г cos(3; у = г sin(3; z = Z,

которые при отождествлении направления радиуса-вектора с осью Ох, а перпендикулярного к нему направления в срединной плоскости - с осью Оу образуют приведенные выше зависимости. Радиальное w, окружное и нормальное к среднему слою произвольной точки пластины перемещения

dw Z dw

и =u-z-; V = V---:

dr г ар

w = w.

Относительные удлинения и угол сдвига: в срединной плоскости

dr 2

(dw)

8р =

dv 1

drj dw

du dv

trapj

dw dw

rap dr dr rap

(9.2.24)

в произвольной точке

dw д w

[гдг

yz =Г;1з-2г - дг

(9.2.29)

9.2.2. граничные условия

(9.2.25)

Напряжения в срединной плоскости, выраженные через функцию напряжений:

dF 1 д F гдг г

(9.2.26)

Моменты в случае изотропного материа-

3/, = -D\

il/p = -z)l

/ 5

dw д w - +

\гдг гд)

dw д w гдг дг

; (9.2.27)

Я = Я, = Яр,= -/)(!-ц)

гдгд?.

Поперечные силы Q, = -D-Aw; Gp = -D-Aw, (9.2.28)

dr /ер

д d д

где А = -- +-+

дг гдг rd

-оператор Лапла-

Система нелинейных уравнений Кармана для изотропной пластины:

AAF = Е

2)AAw = /?(/ , Р)+Л

dw д\ - +

гдг р-д

дР д-р - +-

[гдг. rapj

Нормаль к срединной плоскости в каждой точке поперечного сечения пластины может иметь пять перемещений. Например, для

dw dw

сечения JC=const: w, v, w, -, -. Число

дх ду

степеней свободы, которое определяется числом независимых перемещений, равно четырем, поскольку задание прогаба w(y) одно-

значно определяет угол поворота -. Вне-

шними силами и моментами [Т\{у), S{y), Q\{y), М\{у) и Н(у)] сечение x:=4:onst может быть нагружено совершенно произвольно. Однако, если учесть, что суммарный порядок системы уравнений Кармана равен восьми, для пластины можно задать лишь четыре силы. Это противоречие приближенной теории пластин устраняется заменой крутящего момента парой сил, которые добавляются к поперечным силам. В результате, поперечная сила Q\ и крутящий момент Н заменяются одной приведенной поперечной силой:

при JC=4:onst

G, = G, +

при j=const

дН ду ~

д\ , ..dw

(9.2.30)

dH дх

д ду

2 -+(3+2)

дх (9.2.31)

2...

dw dw - +

Для изотропной пластины

О, =-D-

(2-ц)

Q2 =

-(2-ц)

(9.2.32)

Итак, в теории пластин на каждом крае, например дри x=4:onst, могут быть заданы лишь четыре варианта граничных условий:

перемещения и, v, w, -; силы Гь Afj,

частично перемещения и частично силы (не работающие на заданных перемещениях); четыре уравнения связи между силами и перемещениями. Два из четырех граничных условий определяют характер закрепления и нагружения края в срединной плоскости пластины, а два других связаны с изгибом пластины. Ниже приведены некоторые варианты граничных условий.

Граничные условия для прямоугольной изотропной пластины на крае (х =0).

Край шарнирно оперт и >v(0, >)=0, М(0,у)=0. Если принять во вни-

мание условие w(0, >)=0, то

2 д w

= О и гра-

ничные условия

w{Q,y) = Q- - (О,у) = 0. (9.2.33) Край жестко защемлен и

w(0,>) = 0; - (0,>) = 0. (9.2.34)

Край не загружен и 0\ФуУ) =0, Afj = 0. С учетом выражений (9.2.32)

(0,>) + (2-ц)--(0,>)=0; дх дхду

dw dw

-5-(0,>)+Ц-(0,>) = 0.

дх ду

(9.2.35)

В соответствии с приведенными выше условиями, на каждом крае должны быть заданы также величины и (либо Т\ и v, либо 5), которые выражаются через функцию F,

Граничные условия для круглых и кольцевых пластин. Условия на крае аналогичны приведенным. Дополнительно к выражениям

для сил в полярной системе координат используют формулы для определения приведенных поперечных сил для изотропной пластины:

дН /6р

= -D\

(Aw)+(l-n)-

rd dr

(9.2.36)

При расчете круглых или кольцевых пластин должно соблюдаться условие периодичности любого параметра (перемещений, сил, моментов) по угловой координате Р, т.е.

Ф(г,р) = Ф(г,р + 27с),

где Ф(г,Р) - любой из приведенных выше параметров.

Для круглой пластины без центрального выреза должно быть обеспечено условие конечности перемещений, сил и моментов в центре пластины вследствие обращения некоторых частных интегралов уравнений (9.2.29) при г = О в бесконечность.

9.2.3. КЛАССИФИКАЦИЯ ПЛАСТИН

При рассмотрении уравнений пластин возможна их классификация, основанная на оценке взаимного влияния сил Ё срединной плоскости на изгиб пластины и изгиба на эти силы. При этом возможно выделение определенных классов пластин, расчет которых уже не требует использования в полном объеме нелинейных зависимостей теории Кармана.

Гибкие пластины большого прогиба. У таких пластин взаимное влияние величин w и F существенно, теория Кармана используется без каких-либо упрощений, прогиб соизмерим с толщиной.

Гибкие пластины небольшого прогиба. В

этом случае влияние сил в срединной плоскости на изгиб существенно, тогда как влияние прогиба на силы пренебрежимо мало. В результате первое уравнение системы (9.2.21) упрощается и принимает для ортотропной пластины вид