= 0. длиной а и шириной о (w = -- = О при

(9.2.37)

Второе уравнение системы (9.2.21) остается без изменения. Если ввести в него найденную интегрированием уравнения (9.2.37) при заданных тангенциальных граничных условиях функцию Дх, у), то уравнение (9.2.21) становится нелинейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами.

При нагружений краев прямоугольной пластины по длине постоянными силами Ti, 72, 5, которые не зависят от координат х и уравнение равновесия системы (9.2.21) принимает вид

дхНу

+ d,

д\ а/

дхду (9.2.38)

Жесткие пластины. Для таких пластин силы в срединной плоскости пренебрежимо мало влияет на изгиб. Уравнения равновесия пластин: ортотропной

изотропной d

dw dw -Y+D2 - = p{x,yy,

дхду

(9.2.39)

dw dw

дхду

dw ду

= Р(х,у)

(9.2.40)

Абсолютно гибкие пластины (мембраны).

Поскольку изгибная жесткость таких пластин пренебрежимо мала, первое уравнение системы (9.2.21) принимается без изменения, а второе упрощается:

dFdw dF dw dF д\

2 2 2 2 ду дх дх ду

дхду дхду

Р(х,У) h

(9.2.41)

9.2.4. НЕКОТОРЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИЗГИБА ПЛАСТИН

Решение Навье. Для свободно опертой по всем четырем краям прямоугольной пластины

JC = О, X = а; W =

= о при у=0, у=Ь)

решение уравнения (9.2.39) или (9.2.40) ищется в виде двойного тригонометрического ряда

00 00

т=\п=\

ШТОС . пку -sm-.

а b

(9.2.42)

После подстановки (9.2.42) в (9.2.39) получают для ортотропной пластины

4 2 2 4

а а b b

(9.2.43)

для изотропной

(9.2.44)

Здесь

Ртп =

\\p{x,y)s.i

ткх , пку , , sm-sm-ахау.

(9.2.45)

С помощью выражения для w(x, у), полученного по формулам п. 9.2.2, можно определить остальные параметры изгиба пластин (углы поворота, моменты, поперечные силы).

Решение Леей. Для пластин, два противоположных края которых свободно оперты на

жесткие опоры (например, w =

= О при

х=0, х=а), решение уравнения (9.2.39) или (9.2.40) ищется в виде

00

Мх,у) = /(y)sin--.

=1

(9.2.46)

Неизвестные функции /т(у) определяют из решения уравнения для пластины: ортотропной

+А/ (>) = Р (>);

(9.2.47)

изотропной

2 2 4 4

fm ) -2-t-fm iy) +-i-fmiy) =

(9.2.48)

Здесь

р(у)=Цр{х,у).т-ах, (9.2.49) a

Решение уравнения (9.2.48):

fm(y) = fmoiy) + Qch + qsh + a a

a a a a

(9.2.50)

где fq(y) - частное решение уравнения (9.2.48); Cj - постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий на краях пластины (у=0 и у-Ь).

Решение задач изгиба изотропных прямоугольных пластин при различных вариантах их закрепления на опорном контуре и при разных законах изменения внешней поперечной нагрузки в виде таблиц используют для определения прогибов, углов поворота, моментов, поперечных сил в характерных точках срединной поверхности пластины [31, 33].

Решение Клебша. Изгиб жесткой изотропной круглой пластины в полярной системе координат описывается уравнением

+- + -

аг гдг гар

/>(г,Р)= X/ll\r)cosmp + + Zm)sinmp.

(9.2.52)

Здесь

Р{г)-р{г,)со&тт;

Рт\г)-- J/>(/-,P)sin/wP.

(9.2.53)

Прогиб w(r, Р) ищется в виде такого же

ряда:

н(г,р)= w2\r)cosmP +

+ Zm-)sinmp. (9.2.54)

Ж=:1

Неизвестные функции (г) и (г) определяются из уравнения

d d т

dr rdr j d d m

dr rdr r

при /=1,2.

(9.2.55)

Частные решения уравнения (9.2.55) >о() = <оо + 0\ + In Г + Созг In г;

,2

dr rdr ггр

k(r,p) =

(9.2.51)

При расчете круглых (кольцевых) пластин нагрузка согласно раду Фурье

-/п+2

при т>2.

(9.2.56)

Постоянные интегрирования С (/=1,2,3 4) определяются из граничных условий на внешнем {г=Ь) и внутреннем (г=л) контурах кольцевой пластины. Для круглой пластины без внутреннего выреза (л=0) из условия конечности элементов изгиба в центре (а=0) постоянные тЪ Должны бьпъ

приняты равными нулю. Другие постоянные CQ и Cj находятся из граничных условий

на крае г=Ь,

Расчет составных пластин, а также пластин сложной геометрии при произвольных законах изменения внешней нагрузки и различных граничных условиях проводится с помошью численных методов, ориентированных на использование ЭВМ: методов конечных разностей, конечных элементов, граничных элементов, и др.

Глава 9.3

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК

Основные соотношения линейной теории оболочек основаны на гипотезах Кирхгофа-Лява. Материал оболочки предполагается изотропным и однородным. Справедливость линейной теории ограничена случаем малых деформаций (справедлив закон Гука) и малых углов поворота.

9.3.1. ДЕФОРМАЦИЯ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ОБОЛОЧКИ

Радиус-вектор точки срединной поверхности оболочки до деформации г задается как функция гауссовых координат а, Р:

г = г(а,Р).

Здесь рассмотрен Наиболее распространенный случай выбора гауссовых координат, когда координатные линии (a=const, P=const) совпадают с линиями кривизны поверхности и, следовательно, ортогональны.

В результате деформации точка поверхности перемещается так, что ее новый радиус-вектор

r* = r(a,p) + w(a,P), (9.3.1)

где w(a,P) = wej +€2 +п вектор перемещения точки; W, V и W - проекции перемещения на оси основного триедра, образованного единичными векторами р2л> правленными по касательным к а- и Р-

линиям и по нормали к поверхности (см. рис. 9.1.1).

Деформации элементов поверхности полностью определяются изменением коэффициентов ее первой квадратичной формы. До

{да)

деформации коэффициенты ч2

ABcos\\f = 0(\\f = K/2). Да-

раметры Ламе А*, деформированной срединной поверхности и единичные векторы ♦ ♦

, 62, касательные к а- и Р-линиям, определяются зависимостями

. дг* * дг*

;В*ё2=-. (9.3.2)

А*ё,=

(Гауссовы координаты а, Р предполагаются материальными , так что материальная точка поверхности до деформации и после нее определяется одинаковыми значениями а, р.)

После подстановки в выражения (9.3.2) значения г * и дифференцирования с учетом деривационных формул [7], связывающих производные от векторов i,2n по а и Р с самими векторами, получены уравнения

*ei =[(l+8i)ei +Yie2 - ©li.

В*ё. = В

Y2ei+(l + s2)e2-©2e

(9.3.3)

Здесь ди

1 дА W

+--V + -

е. =

Ада АВ df>

av 1 дв

-+--и +

Вдр АВ да

(9.3.4)

Ух =

У2 =

1 дл

Ада АВ ар ди 1 дВ

jsap

АВ да dw

-; 02=-

R. isap