+0,5/1 +0,5/1

Ql= К* 62= х2,*. -0,5/1 -0,5/1

Как уже отмечалось, эти силы не могут быть вычислены с использованием закона Гука.

Потенциальная энергия деформации, аккумулированная в элементе оболочки, ограниченном двумя парами нормальных сечений, проходящих через а- и Р-линии, определяется интегрированием по объему элемента выражения удельной потенциальной энергии материала:

+0,5А

dn = 0,5 J(ai8i + а282, + T12Y12, ) х -0,5А

dzABdcx. (9.3.19)

В выражении (9.3.19) в соответствии с гипотезами Кирхгофа-Лява не учитываются деформации поперечного сдвига и напряжения а.

После подстановки в подынтегральное выражение деформаций и напряжений в соответствии с уравнениями (9.3.12), (9.3.17) и интегрирования по z получают

dn = UABdoLdfi, где и - потенциальная энергия деформации, отнесенная к единице срединной поверхности; ABdadp> - площадь срединной поверхности выделенного алемента.

Потенциальная энергия деформации, отнесенная к единице площади срединной поверхности оболочки.

2(1-О L

,2 1-Ц

(81+82) +-

Yl2 -4ei82

+0I{, +2(1-й)(Хп

(93.20)

Первое cnaraeiioe представляет собой удельную энергию мембранной деформации оболочек, второе - удельную энергию изгиба и 1фучения.

При выводе формулы (9.3.20) не учитывались величины порядка А/Ль пренебрежимо малые по сравнению с единицей. Первое слагаемое - энергия мембранной деформации оболочки, второе - энергия изгиба и кручения.

С учетом уравнений упругости (9.3.18) плотность энергии деформации на единицу площади срединной поверхности можно выразить также через силы и моменты:

(71.+Г2)+2(1+й)(.-71Г2)

+-Г(Л/1 +2) +2(1 +й)(Я-ММ) \ Eh

или в смешанной форме

и = 0,5(7*181 +7*282 +.SY12 +A/iaBj +

+ Л/2Ж2+2ЯХ12).

9.3.4. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

При рассмотрении равновесия элемента оболочки, ограниченного двумя парами нормальных сечений, проходящих через а- и Р-линии (рис. 9.3.2) напряжения в сечениях алемента предварительно приводятся к сечениям срединной поверхности, т.е. заменяются силами и моментами. Уравнения равновесия составляют в векторной форме, а затем проецируют на оси 1,2л основного тетраэдра. Внешняя нагрузка, приложенная к элементу,

Q = (Л1 +22 -/Л)

где Ри Р2 Рп - отнесенные к площади срединной поверхности нагрузки в направлениях соответственно а-, Р-линии и по нормали.

Рис. 9.3.2. Равновесяе элемента оболочки

Внутренняя сила, приложенная в сечении алемента, нормаль к которому ориентирована по а-линии.

сила в сечении, внешняя нормаль к которому ориентирована по Р-линии,

f2={S2ei+T2e2+Q2e )Adct.

Соответственно, векторы моментов в этих сечениях

в векторной форме уравнения равновесия элемента имеют вид

/-Ldx + -dp+G =0; (9.3.21)

да эр

(9.3.22)

Уравнение (9.3.21) выражает равенство нулю главного вектора сил, приложенных к элементу, а (9.3.22) - главного момента. Скалярная формула уравнений в проекциях на орты основного триэдра

Э Э дА дВ

- (ТВ) + - (S2A) + -5i + -Г2 +

да Эр эр Эа

+-Qi+ABpi=0;

Э Э дВ дА

- (TjA) + - {SiB) + -S2 + - Ti +

эр Эа Эа эр

+-Q2+ABP2 =0;

-(QB)+ - (Q2A)--

АВ\да эр R,

+/ 3 = 0.

(9.3.23)

Аналогично, уравнения моментов в скалярной форме

Э дВ 1 Э 2 - (MiB)--М2 +--(НА)

да да Эр

S ЭЛ 1 Э , 2. -(М2А)--Ml +--(НВ )

эр эр ДЭа

АВ\ ,

-02=0. (9.3.24)

Третье уравнение моментов (в проекциях на нормаль обращается в тождество ввиду условия парности касательных напряжений. Поперечные силы Q2 непосредственно не связаны с деформациями. Определив эти силы из уравнений (9.3.24) и подставив в уравнения (9.3.23) с учетом того, что Зу=3+Н/К2 и S2=S+H/R\, придем к уравнениям равновесия в следующей форме:

2 дА

д I д 2 дБ - (Т,В)+--(SA)--да А д да

Г2+-

R2 5Р

д дВ д

- (МВ)--М2 +2 -(НА)

да да д

+ABpi = 0;

д \ д 2 дЛ - (T2A)- - (SB--ар в да ар

2 дВ

R да

д дА д

- {М2А)--+ 2 - {НВ)

\2 Lp ар да

+АВр2 = 0;

1 а i

АВда

с дВ i а о - (МВ)--М2+--(Ш)

да да

с дА 1 с 9 - (М2А)--М.+--(дг)

ф ф Вда

(9.3.25)

В уравнения (9.3.25) входят только те силовые факторы, которые связаны с перемещениями W, V, W и их производными уравнениями упругости (9.3.18) и геометрическими зависимостями (9.3.5) и (9.3.15). Поэтому уравнения (9.3.25) можно рассматривать как систему трех дифференциальных уравнений в частных производных относительно трех искомых функций W, V, W. Система имеет восьмой порядок. Чтобы краевая задача этой системы была сформулирована, в каждой точ-

ке контура оболочки должны быть заданы четыре граничных условия. Эти граничные условия накладываются на перемещения или на соответствующие им силовые факторы или на линейные комбинации перемещений и сил.

Так, на границе a=const граничные условия накладываются на следующие перемещения или соответствующие им силы:

W -> V -> Sl, W -> Ci*, 01 -> М.

Здесь приведенные сдвигающая и поперечная силы [7] соответственно

Введение приведенных сил обусловлено использованием гипотезы о сохранении нормали.

Аналогично, на границе, совпадающей с Р-линией, граничные условия накладываются на следующие перемещения и силы:

и -> 5*, V -> , W -> qI, 02 ->

гдеГ;=5+,е2*=02+ -.

Я Ада

Глава 9.4

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК

Уравнения геометрически нелинейной теории тонких оболочек служат основой для изучения деформирования, потери устойчивости и закритического поведения гибких тонкостенных конструкций. В отличие от классической линейной теории малых деформаций и перемещений нелинейная теория рассматривает нагружение оболочек, сопровождаемое конечными перемещениями и поворотами материальных элементов.

9.4.1. ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ

Геометрические зависимости теории оболочек в рамках гипотез Кирхгофа-Лява имеют общий характер. Их последовательное упрощение на базе различных геометрических предположений приводит к уравнению прикладных технических теорий.

Деформации поверхности. Пусть а, Р, z -материальные координаты оболочки, связанные с линиями кривизны и внешней норма-

лью к срединной поверхности, г(а,Р) - радиус-вектор поверхности. Ортонормированные векторы начального координатного базиса ei = (1 /Л)/ах, е2 = (1 /В)/др, е хе. Положение поверхности после деформирования г* =*г -I- и определяется вектором перемещения и = wej +ve2 +we - Базисные век* * *

торы деформированной поверхности ei,e2,e выражаются через косинусы углов ik - 2; к = 1,2,3) между направлениями ортов в начальном и деформированном состоянии:

el = (1 / А*)дг */да = со&Фе + -i-cosOi2e2 +cosOi3e ;

е* = (е\хе2)/ (elxel) =

= (l/sinxi2)(iei +262 +3 n); созФц = А(1 + г) / А*; cosOi2 = 1 / А*; cosOi3 = -AS / А*; flj = COSOi2COS023 - cos022 cosOi3;

3 = cosOji cos022 - cosOi2 cos02i;

г 2 2 21

A* = A (1+Si) +01

COSX12 = i 2 (1 P

(9.4.1)

где Б.,ур0у (/ = 1,2) - общепринятые обозначения тангенциальных деформаций и поворотов в линейном приближении; *-геометрические характеристики, относящиеся к деформированному состоянию оболочки.

Коэффициенты первой и второй квадратичных форм деформированной поверхности ;

1*2 = (дг * /дсц ){дт *т = А*В* COSX12;

SUIX12

1 8А 1 досвФ,

-СО8Ф22

[в ар сскФц ах

1 5coeOj3

1 совФц ах J