Главная Расчет круглых валов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 дач, связанная с оценками порядка вектора конечного поворота, предложена В. Петраш-кевичем [41]. В ней приняты во внимание модуль и направление вектора конечного поворота Q = sin сое, Q = sinco . С этой целью тригонометрические функхщи sinco, cosco, входящие в формулы (9.4.4), (9.4.7), раскладываются в ряды Маклорена: 3 5 со со sin со = со--+ - 3! 5! (9.4.10) cosc0 = 1 - 2! 4! При этом степень нелинейности соотношений теории оболочек оценивается старшими членами, удерживаемыми в разложениях (9.4.10). Вводится малый параметр 0 = тах(д/л7,Л/1,л), где Л / Л - относительная толщина оболочки; h / L - относительная длина волнообразования; г) - максимальное собственное значение тензора де(1юрмации. С его помощью дается классификация нелинейных задач по величине углов со поворота: 1) со < 0(0 ) - малые повороты, 2) со = (Х0) - умеренные повороты, 3) со = 0(0) - большие повороты, 4) со > 0(1) -конечные повороты. В рамках теории малых поворотов со 1 и в каждой из ({юрмул (9.4.10) приближенно сохраняется один член ряда: sinco = со+0(0); cosco= 1+0(0 ). Для умеренных поворотов со 1. В степенных рядах (9.4.10) также удерживаются первые слагаемые, но с другими остаточными членами: sinco = со +0(0); cos со = 1 +0(0 ). В пределах больших поворотов со 1 и подходящее приближение оценивается двумя членами ряда Sinco = со-(1/3!)со +O(0V0); cosco = 1-(1/2!)со +0(0). Приведенная классификация ограничена конечными поворотами Q, для которых (о < тс / 2, 0(q) = 0(sin со) = 0(1). Направление оси е поворота в данной классификации остается неопределенным. Тем не менее, оно может бьпъ учтено путем ограничения отдель- ных составляющих вектора Q. Например, ввиду того, что гибкость реальных оболочек в направлении нормали гораздо вьпие, чем в тангенциальном направлении, на отдельные компоненты вектора Q могут накладываться ограничения различного порядка. В этих случаях малые, умеренные, большие или конечные повороты будут связаны с составляющими вектора конечного поворота QQ (/ = 1,2). Применяемые в технике конструкционные материалы, за некоторым исключением, сохраняют упругие свойства только при весьма малых удлинениях и сдвигах. Для этих практически важных случаев компоненты тензора деформации ограничены неравенством у- 1. Такое ограничение позволяет существенно упростить геометрические характеристики деформированной срединной поверхности и, в частности, получить приближенные формулы: El =(1+211)/-1.11+0 SinTjj =COSXi2 =12 (1+Ei)(l + E2) = 12+01 V J Sinxi2=[(l+E,)(l+E2)f 1 + 2 Yl +У2 1 YlY2-YlV2 = 1+11+22 + + 01 A*/A = = 1 + 0(л); (1+8) +Y-+©- = 1+8. +01 (9.4.11) где у/ (/,У = 1,2) - компоненты смешанного тензора де(1юрмации поверхности. Приближенные зависимости для кривизн, кручения, вектора конечного поворота и де(1юрмаций эквидистантного слоя в рамках теории малых десюрмаций приведены в разделах 9.4.3 и 9.4.4, посвященных прикладным нелинейным теориям оболочек. 9.4.3. УРАВНЕНИЯ ЭЛАСТИКИ ОБОЛОЧКИ. ТЕОРИЯ Э. РЕЙССНЕРА Приближенные геометрические соотношения, описывающие эластику тонкой оболочки при неосесимметричной деформации, строятся в предположении малости удлинений, сдвигов и поворотов элемента оболочки около нормали по сравнению с единицей и с поворотами относительно касательных к коор-динатньп линиям. На величину последних ограничения не накладываются. В качестве основных характеристик деформированной поверхности наряду с коэф-* * фициентами gy, by квадратичных форм используют эквивалентные им параметры ЕрЕ2,С08Ф12,С08Ф21,С08Ф1з,С05Ф2з. Перечисленные выше допущения прикладной теории эластики оболочки формулируются следующим образом: Ej --со&Фу -С08Фу; со5Фз со8Фу; Е 1; cosOy 1; cos ФУ + cos Фз 1; Ф. + Фз а тс / 2; дФ / daj -аФуз / daj; созФу 8шФз; созФз 8тФу. (9.4.12) При переходе от точных формул общей теории оболочек (см. п. 9.4.1) к уравнениям эластики порядки величин оценивают с помощью соотношений созФз -со&Фу (/ 9t у); созФу. \Ф)\ (9.4.13) В окончательных результатах сохраняются величины порядка не выше созФу (/ j). Деформации эквидистантной поверхности (9.4.9) для тонких оболочек (г / i- l) с учетом упрощений (9.4.11), (9.4.12), (9.4.13) находят по формулам: =£i +zk; =Q+2; el=eu={a*/a)-l; Q = cosx12 12 = СОЗФз +С08Ф21 + + со8Ф1з созФзз; sinxi2=l; Q = Ql +q2 T =Ti + 2 = T2+- = С08Ф12 + -со8ф13 со8ф23; С08Ф22 I дА , =------8тФ22 + с08ф22 -1 aa AB ap 2T - 22 11 22 АВ да С08Ф12 со8ф11 аФ22 8тФ дА С08Ф +-LL-+ да 21 . АВ ар j (с05Фп+С08Ф22)аФ22 2А да 8тФ дА 8тФ8шФ22 АВ ар (со8ф11 -со8ф22) 11 2В ар (1 < 2, а < р, А<В) (9.4.14) где e,q,kpt - мемебранные деформации и изменения кривизн и кручения срединной поверхности. Малость удлинений и сдвигов при упрощении изгибных деформаций учитывается путем отождествления параметров Ламе до деформации и после нее с помощью (9.4.11). Согласно формулам (9.4.12) величины ФЗ заменяют углами Ф-. Выражение для кручения Т симметризировано с помощью тождества д / да(дт * /ар) = д/ д(дт * /да). Восемь параметров £,q,k,t представляют собой энергетические компоненты деформации, на которых совершают работу соответствующие им внутренние силы 7}, Ту и моменты Mi, Му (i,j==l, 2). Вектор Q/ конечного поворота элемента граничного контура (9.4.9) находится путем суммирования попарных векторных произведений базисных векторов v, t, n и v, t, n: 2Ц sinxv; = [(cosOw cosO -cosO,cosO) + +sinXv/COsO]v + +[-(cosO cosO - cosOcosO) --cosO+cosx;COsO]t + +(cosO,-smx;CosO,--cosXv/Cos0y)a (9.4.15) В рамках уравнений эластики оболочки и допущений (9.4.11), (9.4.12), (9.4.13) вьфзже-ние (9.4.15) последовательно упрощается. В окончательном виде сохраняются слагаемые порядка не вьпые Ф, (v <-> /): Ц = sinOyV - sinOt +1 / 2(cosO, - -со8Фд,)п. (9.4,16) Основные геометрические зависимости уравнений эластики тонкой оболочки представлены формулами (9.4.14), (9.4.16). Непротиворечивые соотношения упругости геометрически нелинейной теории изотропных оболочек, удовлетворяющие условиям существования упругого потенциала, при малых удлинениях и сдвигах представлены в форме £л/(1-ц)](£1+м£2); = [Л / 2(1 + + ЛТ / 62 Л12(1-ц)1(1+Ц2 Тх = (12) (9.4.17) Статические уравнения эластики оболочки следуют из принципа возможных перемещений в форме вариационного уравнения Лагранжа: + + МЩ + Л/252 + 2Ш)АВ(кхф; 6А = \JF6VABdadp + j(T5U + M5)cfe,; (Л (Г) Т = 7v + Tt + 7е; М = -M,v + Mt; 3 = Т,2-М2,/Я2=Т2,-М,2/Щ; Н = М,2=М2, (9.4.18) где n,lV и А - соответственно полная энергия, упругий потенциал и работа внешних сил; Р, Т, М - векторы поверхностной нагрузки, погонных сил и моментов на граничном контуре. Контур Г предполагается гладким. Внутренние усилия в оболочке отнесены к недеформируемой поверхности. При вычислении вариаций кинематических факторов в уравнении (9.4.18) используются формулы (9.4:14), (9.4.16). В процессе преобразований производится упрощение варьируемых параметров в соответствии с оценками (9.4.12), (9.4.13). Условие стандартности функционала Лагранжа (9.4.18) после преобразований с привлечением формул Грина и с учетом независимости вариаций 5w,5v,5>v на поверхности /и 6u,dUj,6w,dO на контуре Г приобретает вид; J * -(Zj + АВр)ди - (7.2 + ABp2)v + (Л +AB{L - p)dw]dadp + J[( - Q)du + -{m-M)m>]ds,=0; dBF, 1 dAS дВ да A ар (9.4.19) д АН ар я I дА АВ 7?2 ар |
© 2011 - 2024 www.taginvest.ru
Копирование материалов запрещено |