/, 1

1 2

dBN dAN2

[да ар j

= riCosOii -(Gi +.Ssin022 -

---sinOji;

1 J

iVi =(1 +5sin022 -Af2sinOii /2)11 + 7;sinOii; 1

da ap

+ - cosOji--Af2COsOi

= cos Y + 5sin 2y + sin у +

Я sin 2y

1 1

С08Ф

- ,sinO );

=U-у-!- + 5cos2y +

cosY sinY

ЦС08Ф

= iVj cosy + N2smy +-- +

+-цсо8Ф; ds,

= С08Ф22 cos Y + Я(со8Фц +

+ cos022)sinYCOSY + Af2 со8Фц sin y;

Ц = (2 С08Ф11 ~ С08Ф22)5и1уС08у +

+ H\ со8Фл cos Y - со8Ф22 sin y

as, 8тФ -

Q,=T, +-?-----M,sm20 ;

Qn =

m,sin20

2 a5

Mjcos Фд

(1<->2,Л<->,а<->Р)

при перечисленных вьпие независимых вариациях в области и на контуре из условия стационарности (9.4.19) следуют уравнения равновесия и силовые граничные условия эластики оболочки;

£i +АВр = 0; L2 +АВр2 = 0; - р = 0;

т-М=0. (9.4.20)

Уравнения равновесия (9.4.20) соответствуют проектированию главного вектора элемента оболочки на оси, связанные с недеформированной срединной поверхностью.

В частном случае при осесимметричной деформации оболочки вращения, совмещая линию а с направлением меридиана, из уравнений (9.4.20) находим ;

п дВК дВ АВ Ц =-L---F2 +-+АВр =0;

да да

К F. 1 dBN

R R2 АВ да

iVj =Г$шФ11 -QcosФll; Q = Q-M2 smФ/R2; 1

(двм дВ

----Л/2С08Фц -

, да да

АВМ2 8ШФ11

(9.4.21)

Линейные комбинации равенств (9.4.21) ] 8ШФ0 - 1С08Фо = о, /1 COSOq 8ШФ0 = О приводят к уравнениям Э. Рейсснера, полученным в предположении малости удлинений:

Го (N sin Ф + G COS Ф) + oLQrQPy = 0;

riN со8Ф - esinФ)] + ao(/b/? - Nq) = 0;

Q = {l/ аг)(гМУ - aMQ со8ф]; a = ; a2 =6; 7=7; T2 = N;

А = а; A* = a; Фц =Ф-Фо;

{1/Я,) = -{1/р,) = -ф,/а,;

=/?1С08Фо-/? 81пФо; = Го; В* = г\

дВ/да ао cosФo; (l / R2) = -sinФo / р = /?1 sinФo +/? со8Фо;

= ooq -1; 2 = о -1; 1 = Фо - Ф);

К2 = Го \81ПФо -SinФ),

где Фо и Ф - углы наклона соответственно начального и деформированного меридиана к плоскости, нормальной к оси вращения оболочки.

9.4.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ НЕПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК В КВАДРАТИЧНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ

Уравнения нелинейной теории в квадратичном приближении представляют собой простейший вариант теории оболочек, в котором учитываются наиболее существенные особенности геометрически нелинейных задач. Здесь так же, как в уравнениях эластики, предполагается малость удлинений, сдвигов и поворотов элемента оболочки относительно нормали к поверхности, однако тангенциальные составляющие вектора конечного поворота соответствуют умеренным поворотам по классификации п. 9.4.2.

Допущения теории оболочек квадратичного приближения сформулированы В. В. Новожиловым при упрощении геометрических зависимостей нелинейной теории упругости в виде оценок:

Ej Е2 --z , С05Фз2 С08Ф21 -z .

л<1.

(9.4.22)

С учетом оценок (9.4.22) основные уравнения квадратичной теории непологих оболочек могут быть получены непосредственно из уравнения эластики (см. п. 9.4.3) путем разложения тригонометрических функций в степенные ряды с удержанием в окончательных результатах квадратичных слагаемых порядка не вьпие 8.

Геометрические зависимости теории непологих оболочек следуют из более общих уравнений (9.4.14), (9.4.16) с точностью до квадратов параметра 8

{z/Ri \y

= Е +ZK\ 822 = Е2 +ZK2\

812 =q+2zT;

£1 =81+1/201; Е2 =82+1/202; q = 0) +0102;

-1/202 2i; 2 -l/20f /i?2; T = t; у = у1 +У2;

Ц = Ф = -e,v + 0,t + 1 / 2(7 - Y,)n.

(9.4.23)

Параметры деформации на срединной поверхности и на контуре Г представлены формулами пп. 9.4.1 и 9.3.2.

Соотношения упругости тонких изотропных оболочек для простейшего варианта нелинейной теории формально совпадают с уравнениями (9.4.17), (9.4.18). Входящие в них удлинения, сдвиги, изменения кривизн и кручения определяются по формулам (9.4.23).

Уравнения равновесия квадратичной теории непологих оболочек следуют из соответствующих уравнений эластики (9.4.19) в том же приближении, т.е. с сохранением нелинейных членов порядка не вьпие е. Данные уравнения равновесия отнесены к локальному координатному базису ei, 62, е , связанному с недеформированной срединной поверхностью:

дВТ, 1 dAS дВ

А ар да

Г2 +

д АЛ

ар R,

1 дА АВ +--Я+-N. +АВр =0;

R2 ар R,

сАТ, 1 dBS дА

В да

а вн

да R2

-АВ\

дВМ, 1 дАН дВ -- +-----М-,

да А д да ) М

I©, +5©2

-АВ\

dAMj 1 дВ Н дА -- +----Л/

ар в да ар

\&2

(9.4.24)

Силовые граничные условия на контуре Г v-Gv=0; q,-Q,=0; q,-Q,=0;

- М, = 0. (9.4.25)

Составляющие внутренних сил

q - cos у + 5 sin 2у + Г2 sin у +

+ Я sin у cos у

1 1

1 2

- smycosy

1 1

/?1 Rjj

(Л/2-

- Mj )sin у cos у + Я cos 27]; q, = (Т2 ~ Tjjsinycosy +5cos2y +

2 . 2

cos у Sin V

sin у

cosj/ r Mijsinycosy + Ясо8 2у

- JS[ cosy + М2\пу +

sin у a y4j aa

+ . (Л/2 - Mi)sinycosy

A2 da 2

= Mj cos у + Я sin 2y + Д/2 sin y;

Ясо8 2у]; Mj cos у

Q=T-M,/R,; Q,=T,M,/R,; Q =T +dM,/ds,.

Дальнейшие упрощения уравнений нелинейной теории связаны с особенностями напряженно-деформированного состояния оболочек. При его быстром изменении, хотя бы в одном из направлений на поверхности, некоторые члены уравнений общей теории становятся пренебрежимо малыми и могут быть отброшены. Приближенные уравнения такого рода известны как уравнения нелинейной теории пологих оболочек (технической теории оболочек) [12, 24].

Допущения, приводящие к теории пологих оболочек, могут бьггь сформулированы также в форме приближения о близости метрических свойств поверхности и ее проекции на плоскость. В результате, в формулах для компонентов изгибной деформации отбрасывают тангенциальные смещения, а в изменениях кривизн - квадратичные члены с множителями l/Rii в уравнениях равновесия пренебрегают моментными членами, содержащими в качестве сомножителей главные кривизны поверхности и их производные.

Реализация данных гипотез применительно к зависимостям (9.4.24), (9.4.25) приводит к уравнениям геометрически нелинейной теории пологих оболочек [12]

дВТ, 1 dAS дВ

ар 1

-Tj +ABpi = 0;

Л, R2

dBN dAN2

ар J

-Рп=0;

ЭВМ, 1 длн дв

А df> да

-АВ{те +s&2)l