Основные энергетические характеристики упругого кольца-шпангоута

к = J(k k +кк +к>к xz

(9.7.1)

Кинематические условия сопряжения оболочек 7 и 2 со шпангоутом К находят, приравнивая векторы перемещений и поворотов линейных элементов контактирующих частей в фиксированной точке составной конструкции (см. рис. 9.7.1). При отсутствии эксцентриситета между срединными поверхностями оболочек и осью кольца необходимые условия сопр51жения следуют из уравнений U(l)=y(2)=U(/c) и ф(1)==ф(2)=ф(/с) Рде if,i)

Ф\ /=1,2,...,/: - векторы перемещений и поворотов на -линии контакта. В скалярной форме

sine,4w,cose< v<)=v,; w >=- ,cose<Vw,sine< vU-v,;

** = -u sinej) + cose) e- = ф;

(9.7.2)

Для получения силовых условий сопряжения оболочек с кольцом используют метод возможных перемещений, особенно надежный при решении сложных контактных задач механики тонкостенных конструкций.

Совмещая координатные линии а. р на поверхности оболочек вращения 7 и 2 (см. гл. 9.3, 9.5) соответственно с образующими и направляющими, согласно результатам гл. 9.4 и формулам (9.7.1) получим полную энергию составной системы (см. рис. 9.7.1) в виде

где П), П2) и Пк - энергия соответственно оболочек и кольца.

Вариационное уравнение Лагранжа для составной конструкции при использовании зависимостей (9.4.18), (9.4.19) квадратичного варианта уравнений теории непологих оболо-

чек, формул Грина и кинематических условий сопряжения (9.7.2) приводится к виду

(1) (2)

с(2) 2Я<>

4- )

I5v<2) +

,2) 1 ая>

1 -,(2)

В ар

(9.7.3)

где QOO - поверхность у-й оболочки, У=1,2; и Г/ - радиусы соответственно кольца и оболочки в сечении 5=5/); (5=1,4)-дифференциальные операторы, определяемые формулами гл. 9.4 и зависимостями :

к, =

1 + .(1)

В эр j

cose

1 +-

B эр

,<2)

1 дН

ар j

sin 6,

,(1)

1 ая

ар )

sine,

к v

(2)Л

.(2)

1 dM

При независимых вариациях перемеще-

ний оболочек

кольца (SWj 5Vj,5>Vj,60j, из вариационного уравнения (9.7.3) следуют известные дифференциальные уравнения равновесия оболочек 1 и 2 (см. гл. 9.4) и силовые граничные

условия к ним на краю s = 5) (см. рис. 9.7.1), а также уравнения равновесия кольца

К,=0 (s = М). (9.7.4)

Дифференциальные уравнения (9.7.4) представляют собой искомые силовые условия сопряжения при упругом контакте оболочек вращения со шпангоутами.

В частном случае, когда оболочки предполагаются безмоментными, кольцо нерастяжимым, а контактная задача геометрически линейной, кинематические и силовые условия сопряжения в зоне контакта определяются уравнениями :

r{)sine)-7p)sine>-/,=0;

d d

d>s d(p

r/>cose<47<osef

(9.7.5)

где EJ - жесткость кольца при изгибе в его плоскости.

9.7.2. ИЗГИБ ШПАНГОУТОВ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО БАКА СО СФЕРИЧЕСКИМИ ДНИЩАМИ

При проведении расчетов на прочность шпангоутов цилиндрического бака при действии распределенных и сосредоточенных сил целесообразно выбрать наиболее простую расчетную модель тонкой оболочки, достаточно правильно отражающую особенности ее работы в качестве упругого основания для под-крегшяющих колец (рис. 9.7.3). Для оболочки, длина / которой не слишком велика и соизмерима с размерами поперечного сечения, может быть принята безмоментная теория [5].

Внутренние силы и перемещения в обечайке 3 и днищах i и 2 находятся интегриро -

Рис. 9.7.3. Схема расчета цилиндрического бака со сферическими дниоами и с соединительными шпангоутами

ванием уравнений цилиндрической и сферической оболочек (см. п. 9.6.1) [27]. Дня цилиндрической части составной конструкции

r(3)

--Oj

6r 2r

+-q; -a4;

(3)

TTi-- 2 +

+2(l+)acQi]--Q3 +Q4,

(9.7.6)

где (5 = 1,4) - произвольные функции угла ф.

Предполагая кольца Л*) (/=1,2) нерастяжимыми, зададим их перемещения в форме тригонометрических рядов

,(/)С08Лф

,(/)5ШЛф . COS Лф

(9.7.7)

Исходя из разложений {ЭЛЛ), условий сопряжения оболочек и колец (9.7.5) и свойств периодичности функций Q, внутренние силы в обечайке 3

/8ШЛф

-jSin Лф

(9.7.8)

ICOS Лф

где =24(1+ц)(г )1

Усилия и перемещения каждого из сферических днищ для /1-го члена ряда запишем, опуская, для краткости, индекс п [27]:

Г1=-Г2= +

п п-1

п 9 cos Лф

7?(1+ц) sine 2

sinлф

tg -

7?(1 + ц) sine 2

и = +

(/i + cose)

7)1 sin G + D2 -

V = -\D,smQ-D>

sine

/i(/n-cos6) sine

n еС05Лф

-sinelW

е5шлф

) cos Лф

(9.7.9)

Константы 7)i, находятся через амплитуды перемещений колец Л(), (9.7.7) из условий совместного деформирования сферических сегментов с кольцами (9.7.5):

1-V4 cos0,>

+ sin0<>)< ][V sine<V(e<>/2J

Vsin0VKV2

7)f =

i+/icose

<4sine<><

2/if/1 + coseo 1 / sinQq - sinBq

-1-1

X tg

n(l)

-Л 0 .