(9.7.31)

Зависимости (9.7.27) - (9.7.31) дают полное решение задачи об изгибе подкрепленного гофром цилиндрического корпуса с учетом кольцевого сжатия. Наибольший практический интерес в данной задаче представляют окружные 1Ломенты М2 и связанные с ними изгибные напряжения в оболочке.

На рис. 9.7.8 представлены максимальные значения момента М2 при х=0, ф=0 с учетом сжатия в окружном направлении, определяющие прочность гофрированной оболочки при комбинированном нагружений давлением р = Pq + Р2 со82ф. График построен в функции параметров

Л/ = 16(Л/2),

aj = ар

a = {I/R){h/RY; р = h / h; р = pJ р ;

,-1-1

= Ehp /4R; D = EhR

При вычислении относительного максимального момента М в зависимости от значений безразмерного давления р следует использовать правую (р <1,а b с d) либо левую (р > 1, А В С D) часть номограммы.

Рис. 9.7.8. Изменение максимального окружного момента в оболочке при неравномерном внешнем давлении

Глава 9.8

ОСНОВЫ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ

Уравнения, описывающие деформированные состояния оболочек, интегрируются аналитически только в некоторых частных случаях. Решения общего вида можно получить прибегая к упрощениям, что значительно сужает область применимости полученных результатов. В настоящее время расчет оболочек выполняется несколькими численными методами, например: начальных параметров; конечных разностей и конечных элементов, которые рассмотрены ниже.

9.8.1. МАТРИЧНЫЙ МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

При расчете оболочек вращения этим методом формулируется краевая задача на основе системы дифференциальных уравнений первого порядка. Пусть оболочка из однородного изотропного материала нагружена осе-симметричными поверхностными Pip силами. Уравнения моментной теории оболочек вращения рассмотрены в гл. 9.5. Для осесим-метричного случая имеется шесть дифференциальных уравнений

du W

- +--81 =0;

ds Rl dw и

ds Я

401 = 0;

d&

dT\ ds

+ 7;

ds cosa

1 + 1=0;

cosa Ql

cosa

+ M,

-Gi=o.

ds r r

(9.8.1)

Эти уравнения должны быть дополнены шестью алгебраическими соотношениями

cosa sina 82 - и--W-= 0;

cosa

= 0;

Л/2 -7)(ш2 = 0;

Г2-5(82+ц8) = 0.

(9.8.2)

В системах уравнений (9.8.1) и (9.8.2) двенадцать искомых функций (и, w, ©ь Гь Сь Ml, El, Е2, asi, ав2, Ti, Л/г): первые шесть - основные, остальные - дополнительные. Введение векторов основных zi} и дополнитель-

ных 12} неизвестных, а также вектора внешних нагрузок позволяет представить

систему уравнений (9.8.1), (9.8.2) в векгорно-матричной форме

{г,} = { к01Г, е, Л/,}; (9.8.3)

{22}= {е. 2 1 2 Si 2}; (9-8-4)

{/>} = {0 0 0 -/ /3 0}. (9.8.5)

Тогда система дифференциальных уравнений (9.8.1) может бьггь представлена в форме

Здесь матрицы

i}+[*i]h} = {4 (9.8.6)

Матричная форма алгебраических уравнений (9.8.2)

Матрицы :

{l}+[*2b} = 0-

(9.8.7)

-ViD -D

О О О

-D -iiD 1

О О

О О О О

-В О О -цВ 1

Исключением вектора {zj} из соогао- ракгерный радиус кривизны и дайна дуги обой (9.8.6) и (9.8.7) получено одно матрич- Р = г / Rq, R = / R; х = s / R..

Искомый вектор состояния, соответству-ций вектору (9.8.3),

{y} = {uw@ Т; Gi М}. (9.8.10)

шений

ное уравнение, описывающее деформацию оболочки вращения:

Здесь

Безразмерные составляющие (обозначены черточками) этого вектора для оболочки постоянной толщины выражаются через переме-

(9.8.9) щение и силы: и = и / Rq; w = w / Rq;.

fi=Ti/(Eh); Qi=Qi/(Eh); M = Ml / (EhR).

Остановимся на приведении уравнения к безразмерному виду. При численном решении безразмерная форма уравнений позволяет выделить основные параметры системы, провести более общий анализ решения и получить ре- Разрешающее уравнение, соответствующее зультаты, которые могут быть использованы уравнению (9.8.8),

для широкой области изменения нагрузок, жесткости, геометрии системы и др. Характерным геометрическим параметром оболочки Rq

-И+ИМ = {4 (9.8.11)

может быть радиус какого-либо сечения обо- Матрица [Л] имеет безразмерные составляю-

(9.8.12>

=цсо8а/р; = 1 /+asina / р; 1 - ц ; а21 = -1 / Л; а2з = -1; азз=цсо8а/р; аз=-1/А:; aj =-cos а / р; а42 =-sinacosa / р ;

66 =44-

Вектор правой части уравнения (9.8.11) I Eh Eh \

Параметр, определяющий отношение толщины оболочки к радиусу Rq, от которого = (1 - ц)со8а / р; а45 = 2 = -а42; зависит точность решения задачи,

а2 =sina/p; а54 = а2

( i =cosa/p; аз = 1-ц

EhR u[l-R

. (9.8.13)