Главная Расчет круглых валов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [ 50 ] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 Так как рассматриваются тонкие оболочки, величина к мала. В матрицу [Л], как видно из вьфажения (9.8.13), входят величины к (малая величина) и \/к (большая величина). Такие системы уравнений при большой длине интервала интегрирования решаются с применением особых приемов. Уравнение (9.8.11) при решении задачи должно быть дополнено граничными условиями. На каждом граничном контуре для осесимметричного случая моментной оболочки необходимо удовлетворение трех граничных условий: по три компонента вектора известны в конце и начале интервала интегрирования или заданы их линейные комбинации. Общее решение уравнения (9.8.11) (9.8.14) Константы С\,..Сз определяют следующим образом. Трехкратным интегрированием однородной части системы (9.8.11) при значениях векторов {>i}q9--- {-3}o удовлетворяющих граничным условиям в начале интервала интегрирования, находятся векторы {Ух]- {2)1 {Уъ\\- SJop {}о частного решения может быть задан нулевым. Еще одно интегрирование уже неоднородного уравнения (9.8.11) дает вектор {z]y После определения векторов в конце интервала интегрирования константы C\,...,Ci находятся из граничных условий. Следует отметить, что полученные векторы {-2} {3} {} могут быть использованы для самых разных граничных условий в конце интервала. Если приходится решать ряд задач с одинаковыми граничными условиями на одном конце и разными на другом, целесообразно начать интегрирование системы уравнений с того края, на котором граничные условия одинаковые. После определения констант С], С2, С3 вектор в начале интервала известен [уравнение (9.8.14)], что позволяет провести еще одно интегрирование уравнения (9.8.11). Значения составляющих вектора jjj в промежуточных точках интервала по существу являются искомыми значениями функций сил и перемещений. Однако не все усилия и перемещения находятся интегрированием уравнений. С помощью уравнения (9.8.7), если привести его составляющие к безразмерной форме, можно получить остальные силы и перемещения. Как уже отмечалось, задачи расчета оболочек имеют особенность. Они описываются уравнениями, имеющими сильно отличающиеся по значению коэффициенты. В результате при интегрировании уравнения (9.8.11) при разных значениях векторов {1}, {У2}о других могут получиться мало отличающиеся между собой значения векторов {2)1 и др., что дает неточные значения констант С3 и, по существу, неверное решение, особенно при расчете оболочек большой длины. Для того чтобы добиться результата, удовлетворяющего необходимой точностью, оболочку делят на несколько сегментов. Для оболочек вращения минимальная длина сегмента может быть выбрана на основе теории краевого эффекга. Длина / каждого участка приближенно определятся формулой (9.8.15) где R2 и h - соответственно окружной радиус кривизны и толщина оболочки на рассматриваемом участке; Р - коэффициент, может бьггь принят Р=3. Пример. Рассчитать круговую торообраз-ную оболочку, нагруженную равномерным давлением р. Известно, что поле перемещений, определенное по линейной безмоментной теории оболочек, характеризуется разрывом в зонах, близких к линиям нулевых кривизн. Применение моментной теории позволяет избежать этого. Однако общее аналитическое решение задачи получить трудно. При проведении численного расчета принято, что характерному параметру Rq соответствует радиус сечения тора. Размер г = а -i- Rq sin а. Безразмерный радиус р = л / /?q + sin а. Касательная составляющая нагрузки равна нулю, а нормальная Р2=р. В связи с тем, что X = S / Rq - а, переменная в уравнении (9.8.11) соответствует угловой координате а: Составляющие матрицы [Л] зависят от коэффициента Пуассона ц, параметров оболочки к, а / Rq и угловой координаты а. Вектор правой части 0 0 0 0 о Благодаря симметрии оболочки относительно экваториального сечения интегрирование можно проводить не по всему контуру, а только от а=-7с/2 до а=7с/2. Граничные условия и=0; 6=0; Qi=0 при а~к/2 и и=0; 0=0; Q\=0 при а=к/2. Решение представляется в виде При интегрировании уравнения (9.8,11) начальные значения векторов (в соответствии с граничным условием при а = -к / 2) принимаются ачедующими: {>.,} = {oioooof- {j2} = {0 0 0 1 0 0} {>з}о={0 0 0 0 0 1} После определения констант Q, С2, С3 и истинных начальных параметров еще одно интегрирование позволяет построить поле перемещений и сил в оболочке. На рис. 9.8.1 приведены кривые нормального перемещения w идя оболочки, геометрические параметры которой а / Rq = 1,5; (h / Rqj = 0,05; (/2/i?o)2 =0,02; (Л/7?о)з =0,005. Расчеты вьшолнены для безразмерного давления pRq / = 0,002 и коэффициента ц = 0,3. На всем участке а = -к / 2.. :+ж / 2 кривая нормального перемещения плавная, без разрывов. В зоне близкой к экваториальному сечению, вдали от точки а = О нормальное перемещение w мало зависит от относи -
-{Г/г) Рис. 9.8.1. Изменение нормальных перемещений торообразной оболочки, нагруженной внутренним давлением тельной толщины оболочки и приближенно может,бьпъ определено по линейной безмоментной теории. Для точки а = тс / 2 силы 2 a+R 7-2 = , а безразмерное - Ро перемещение w = - (l-2ц)+(l-) этом гч-3 ц = 0,3, pRq i [Eh] = 0,002, w = 1,3 10~. Как видно, отличие от численного расчета незначительно. Расчет оболочки вращения при осесимметричном нагружений наиболее простой. Такой подход может быть применен к более общим случаям нагружения, например, к оболочкам при несимметричном нагружений или неравномерном нагреве, а также к анизотропным оболочкам и оболочкам, имеющим переменную толщину и дискретные кольцевые подкрепления. Общая схема расчета при этом остается такой же. 9.8.2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Этот метод используется при решении широкого круга задач теории оболочек. Ниже на примере решения уравнения моментной цилиндрической оболочки при неосесимметричной деформации рассматриваются особенности и последовательность определения в ней сил и перемещений. Для однородных изотропных оболочек вращения уравнения моментной теории приведены в гл. 9.5. Для цилиндрической оболочки уравнения равновесия принимают вид; ds Rdp ЭТ. dS Q. -+-------Pl Rdp ds R ds dH Rdp dH Rdp ds Rdp -Qi=0; (9.8.16) Деформации, углы поворота, перемещения и изменения кривизн связаны между cq-бой соотношениями t ди д\ dv w 82 =-+ -; Ядр R Щ ds 02=- - + 1 = d& Bdf R d& Ш12 =- ds, do. {Rd ds (9.8.17) Силы и моменты для изотропной однородной оболочки выражаются через деформации и изменения кривизн следующим образом: = (81 +Ц82); Г2 = (82 +Ц81); 5 = 0,55(1 >ц)у; = 7>(аг 2 = (®2 -i) Я1 =7>(1-цЦ2. (9.8.18) Система уравнений (9.8.16) - (9.8.18) полная: при девятнадцати уравнениях она содержит девятнадцать искомых функций (Г1,Г2,5,е1,С212127®12 aepa3,aej2,w,v,>v). Для приведения уравнения к безразмерному виду координата s вдоль меридиана отнесена к радиусу оболочки: x=s/R Безразмерные силы, перемещения и изменения кривизн: Т=Т,/{Щ; TT/iEh); S = S / {Eh); Q,=Q,/{Eh); Q2=Q2/{Eh); Щ= М/ {EhR); 2=2/ {EhR); Н = Н/ {EhR); й = u / R; \ =v / R; w = w / R; аВ = ecR; ae =xR; Шр = ШрТ?; k = h / 12R . (9.8.19) Первый этап решения задачи состоит в приведении уравнений в частных производных к обьпсновенным дифференциальньпи. Иско- мые силы, деформации и перемещения, представленные в виде суммы произведений двух функций, одна из которых соответствует членам рядов Фурье по окружной координате, другая - функции координаты х, имеют вид: Ti = YTicosmP; = 72cos/wp; m=0 , m=0 S = 5sin/wP; Ml = MicoswP; M2 = M2;fjCosmP; H = ЯвттР; /71=0 m=\ й= wcos/wP; v= yvsinmP; m=0 m=l = wcos/wp; 1 = Zi 2 = Z2, cos/wP; /я=0 m=0 /я=1 /я=0 2 = ae2cos/wP; 12 = aesin/wp; /Я = 0 /71 = 1 /71 = 0 /71 = 1 (9.8.20) Здесь суммируются безразмерные значения сил, перемещений, деформаций, которые соответствуют определенной т-й гармонике и являются функцией только одной переменной X. Следует отметить, что разложения (9.8.20) не являются полными, поскольку опущены кососимметричные составляющие сил, перемещений и деформаций для величин 71,7*2 Mi,M2,Gi,w,w,8i,82,aej ,аё2,01И симметричные составляющие для величин S,H,Q2, у,у,Шр. В большинстве случаев это допустимо, так как соответствующим выбором начала отсчета по р и разделением системы на симметричную и кососимметричную появляется возможность дополнительные слагаемые не учитывать. Зависимости (9.8.20) дополняют разложениями б ряды Фурье составляющих поверхностной нагрузки: = /JjcosawP; /71 = 0 |
© 2011 - 2024 www.taginvest.ru
Копирование материалов запрещено |