Р2 = Z2mSin/wp; = /?3cos/wp. Ис-

т=\ т=0

пользуя эти зависимости, а также зависимости (9.8.19) и (9.8.20), система уравнений (9.8.16) приводится к виду

dx Eh

V2m-------dx

(9.8.21)

Соотношения (9.8.17) представляют следующим образом:

dx dx

dx )

(9.8.22)

Безразмерные составляющие сил и моментов лля каждого значения выражаются через деформации и изменения кривизн:

уХт =Чт +2т 2т =2т \т

А)т-Ут- 1т=Ы2тУ Щт={2тшУ т={-)т

(9.8.23)

Полученная система уравнений может бьпъ решена разтачными способами. Целесо-

образна процедура, изложенная в предьщущем разделе: интефирование системы уравнений первого порядка.

Другим вариатом решения является приведение данной системы к системе уравнений второго порядка. Для выражения сил и моментов в уравнениях (9-8.21) через деформации по формулам (9.8.23) используются все соотношения, кроме

l.=Ч. +2m) (9-8-24)

в уравнениях (9.8.21) исключают величины Qiyn и Q2my а моменты Miff остаются в виде одной из основных искомых функций. Выражением деформаций и изменений кривизн в этих уравнениях и в уравнении (9.8.24) через перемещения по формулам (9.8.22) получается система из четырех обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Каждое уравнение имеет второй порядок:

+ ал

dx dw

ъ-f + m+s-f

dx du

Eh d\.

dx dM

2 +12 +13-

(9.8.25)

Вектор искомых функций, состоящий из трех компонентов и, w . перемещений и момента Mi :

M = Kv w M, }r (9.8.26)

Тогда уравнения (9.8.25) могут быть представлены в виде

dx dx

(9.8.27)

Здесь

О а О О

is О

[С] =

О 14

16 18 19

-Pint

РЪт О

(9.8.28)

Составляющие матриц рассчитывают, как рассмотрено вьппе. Они зависят от относи-

тельной толщины оболочки к - h /

коэффициента fi Пуассона и номера т гармоники. Чтобы решить задачу, кроме уравнения (9.8.23) необходимы граничные условия на каждом из граничных контуров: силы, перемещения или условия упругого закрепления. Например, для заделанного края = /я =

~т~ - ~ шарнирно опертого

края = = = = 0. Таким образом, известны некоторые из компонентов вектора или его производной d\y/dx. В общем виде матричная форма граничных условий при x=0 и х=Хп может бьггь представлена следующим образом:

(9.8.29)

Матрицы [] и Z] имеют размер 4x4 и обычно слабо заполнены. Для заделанного края при нулевом векторе {(7} правой части (9.8.29)

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 10

0 0 0 0

10 0 0

0 10 0

0 0 10

0 0 0 0

Итак, краевая задача д;1Я оболочки описывается уравнением (9.8.27) и граничными условиями (9.8.29). При решении уравнений методом конечных разностей область интегрирования x=...Xfi разбивают на ряд участков длиной д. Первая и вторая производные от векторов

7-М = -(Н-,-Нч,)-

dx 2Д

Первая производная при аппроксимации

граничных условий с точностью О

начала интервала через правые разности

а для конца интервала через левые разности

dx 2Д Д 2Д

С учетом этих соотношений rpaHH4HBfe условия и уравнения оболочки!

[nMo-7[]oM.-f[4W2 = H

Д 2Д

(9.8.30)

Первая строка относится к левой границе (/=0), третья - к правой (/=л). Во втором уравнении /=1,2,3,--,л-1. Отсюда общее число уравнений л+1 соответствует числу искомых векторов {у У Матрицы в выражениях (9.8.30):

А 2А

А 2А

Для решения системы уравнений (9.8.30) процедурой матричной прогонки принимается, что векторы {у в соседних точках связаны линейным соотношением

Н=Ил[Р1Нч. (9.8.31)

где [а]/ и [р]/ - матрицы прогонки.

Для построения реккурентных формул, связывающих эти матрицы в соседних точках, запишем формулу, аналогичную последней, но для предьщущей / -1-й точки {>}/ 1 =[Ч-1 [Р]/-! Подстановкой ее во второе соотношение (9.8.30) и с учетом соотношения (9.8.31) получена связь между матрицами прогонки в соседних точках

и=([пчп[р],-.Гх

(9.8.32)

Для первого этапа расчета - определения всех матриц прогонки - нужны их значения в начале интервала для / = 1, которые можно найти с помошью первого и второго уравнений (9.8.30) и выражения (9.8.31):

\ д

[4 тщоля

(9.8.33)

Эти матрицы могут быть рассчитаны при заданных параметрах оболочки и известных граничных условиях в начале интервала. Остальные матрицы для / = 2, 3 и т.д. находят по формуле (9.8.31). Прямой ход при прогонке ведется до значения / = л - 2. В конце интервала нужно воспользоваться граничным условием для / = л - 1 - третьим и вторьв! уравнениями (9.8.30) и выражением (9.8.31). Тогда вектор искомых функций для предпоследней точки

1л-2

2Д 2

(9.8.34)

Векторы в остальных точках определяют последовательно с помощью соотношения (9.8.31) и известных матриц прогонки при обратном ходе. При этом необходимы значения не только искомого вектора {у, но и его

производных ±{у}=1.{у}. ~Т7Ь-Г

ах 2А 2А

с помощью этих величин и соотношений